東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2023年8月実施 线性代数

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• Eigenvalues-and-Eigenvectors
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• Basis-and-Dimension
• Matrix-Inverse

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$\mathbb{R}^3$ を実ベクトル空間とし， $a$ を実数とする．行列 $A$ とベクトル $\boldsymbol{u}$ を

$$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} a^2 + 5a + 6 \\ 6a + 6 \\ 2a^2 + 4a + 6 \end{pmatrix}$$

とする．ベクトル $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2,$ および $\boldsymbol{v}_3$ をそれぞれ

$$\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

とする．次の問いに答えよ．

(1) $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3\}$ が線形独立であることを示せ．

(2) $\boldsymbol{u}$ を $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2,$ および $\boldsymbol{v}_3$ の線形結合で表せ．

(3) $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2,$ および $\boldsymbol{v}_3$ が $A$ の固有ベクトルであることを示し，それぞれの固有値を求めよ．

(4) $B = A^2 + A$ とする． $B$ の階数 (rank) を $a$ の関数として表せ．

(5) $B$ の逆行列 $B^{-1}$ が存在するとき， $B^{-1}\boldsymbol{u}$ を求めよ．

题目描述

在实向量空间 $\mathbb R^3$ 中，令 $a\in\mathbb R$，并定义

$$A= \begin{pmatrix} a&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol u= \begin{pmatrix} a^2+5a+6\\ 6a+6\\ 2a^2+4a+6 \end{pmatrix}.$$

再令

$$\boldsymbol v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.$$

1. 证明向量组 $\{\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_3\}$ 线性无关。
2. 将 $\boldsymbol u$ 表示为 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_3$ 的线性组合。
3. 证明这三个向量都是 $A$ 的特征向量，并分别求出对应特征值。
4. 定义 $B=A^2+A$。将 $\operatorname{rank}B$ 表示为参数 $a$ 的函数。
5. 当 $B^{-1}$ 存在时，求 $B^{-1}\boldsymbol u$。

Kai

解答

(1)

3本を列にもつ行列の行列式は

$$\det\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}=3\ne0.$$

従って $\boxed{\{\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_3\}\text{ は線形独立}}$ であり、 $\mathbb R^3$ の基底である。

(2)

$\boldsymbol u=\alpha\boldsymbol v_1+\beta\boldsymbol v_2+\gamma\boldsymbol v_3$ とおくと

$$\alpha+\beta+\gamma=u_1, \qquad -\alpha+\gamma=u_2, \qquad -\beta+\gamma=u_3.$$

これを解くと $\alpha=a(a-1)$ , $\beta=a(1-a)$ , $\gamma=(a+2)(a+3)$ だから

$$\boxed{\boldsymbol u=a(a-1)\boldsymbol v_1+a(1-a)\boldsymbol v_2+(a+2)(a+3)\boldsymbol v_3}.$$

(3)

$A=(a-1)I+\boldsymbol1\boldsymbol1^T$ と書ける。 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$ の成分和は0なので

$$A\boldsymbol v_1=(a-1)\boldsymbol v_1, \qquad A\boldsymbol v_2=(a-1)\boldsymbol v_2.$$

また $\boldsymbol v_3=\boldsymbol1$ で各行の和は $a+2$ だから $A\boldsymbol v_3=(a+2)\boldsymbol v_3$ である。従って

$$\boxed{\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2:a-1, \qquad \boldsymbol v_3:a+2}.$$

(4)

$B=A^2+A$ なので、 $A$ の固有値 $\lambda$ に対応する $B$ の固有値は $\lambda(\lambda+1)$ である。従って

$$\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2:a(a-1), \qquad \boldsymbol v_3:(a+2)(a+3).$$

(1)の3本は基底なので

$$\boxed{ \operatorname{rank}B= \begin{cases} 1,&a=0,1,\\ 2,&a=-2,-3,\\ 3,&a\notin\{-3,-2,0,1\}. \end{cases}}$$

(5)

$B^{-1}$ が存在する条件は $a\notin\{-3,-2,0,1\}$ である。このとき(2)の係数を対応する $B$ の固有値で割ると

$$B^{-1}\boldsymbol u=\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2+\boldsymbol v_3 =\boxed{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}.$$