東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2022年8月実施 概率统计

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• TITech
• Independence-of-Random-Variables
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下， $P$ を確率とし， $E[X]$ で確率変数 $X$ の期待値を表す．

(1) $X$ が $[-1, 1]$ 上の一様分布に従う確率変数とする．任意の実数 $t$ に対して $E[e^{itX}]$ を計算せよ．ここで $i$ は虚数単位である．

(2) $[0, 1)$ 上の一様分布に従う確率変数 $U$ に対して，その 2 進展開の係数を $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ で表す．すなわち， $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ は

$$U = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{X_n}{2^n}$$

を満たす $\{0, 1\}$ -値確率変数系列である．

(2-a) 任意の正整数 $n$ と $c_1, \dots, c_n \in \{0, 1\}$ に対して，

$$P(X_1 = c_1, \dots, X_n = c_n) = \frac{1}{2^n}$$

が成り立つことを証明せよ．

(2-b) $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ が $P(X_n = 0) = P(X_n = 1) = 1/2$ を満たす独立同分布確率変数系列であることを示せ．

(3) (1) の結果と (2-b) の事実を用いて，任意の実数 $t \neq 0$ に対して

$$\frac{\sin t}{t} = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \left( \frac{t}{2^n} \right)$$

が成り立つことを示せ．

题目描述

以下用 $P$ 表示概率，用 $E[X]$ 表示随机变量 $X$ 的期望。

1. 设 $X$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布。对任意实数 $t$，计算

$$E[e^{itX}],$$

其中 $i$ 为虚数单位。 2. 设 $U$ 服从 $[0,1)$ 上的均匀分布，用取值于 $\{0,1\}$ 的随机变量列 $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ 表示其二进制展开：

$$U=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{X_n}{2^n}.$$

1. 对任意正整数 $n$ 和任意 $c_1,\ldots,c_n\in\{0,1\}$，证明

$$P(X_1=c_1,\ldots,X_n=c_n)=\frac1{2^n}.$$

2. 证明 $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是独立同分布随机变量列，且

$$P(X_n=0)=P(X_n=1)=\frac12.$$

3. 利用第 1 问的结果和第 2.2 问的结论，证明对任意实数 $t\neq0$，

$$\frac{\sin t}{t} =\prod_{n=1}^{\infty} \cos\!\left(\frac{t}{2^n}\right).$$

Kai

解答

(1)

$X$ の密度は $[-1,1]$ 上で $1/2$ である。 $t\ne0$ のとき

$$\mathbb E[e^{itX}]=\frac12\int_{-1}^1e^{itx}\,dx =\frac{e^{it}-e^{-it}}{2it}=\frac{\sin t}{t}.$$

$t=0$ では期待値は1なので

$$\boxed{\mathbb E[e^{itX}]=\begin{cases}\dfrac{\sin t}{t},&t\ne0,\\1,&t=0.\end{cases}}$$

(2-a)

$c_1,\ldots,c_n$ に対し $m=\sum_{j=1}^n c_j2^{n-j}$ とおく。この数字列を先頭にもつ $U$ の集合は、2進展開が二意的な端点を除けば

$$\left[\frac{m}{2^n},\frac{m+1}{2^n}\right)$$

である。二進有理数からなる例外集合は可算で確率0である。区間の長さが $2^{-n}$ なので

$$\boxed{P(X_1=c_1,\ldots,X_n=c_n)=2^{-n}}.$$

(2-b)

任意の $1\le j_1<\cdots<j_r$ と $d_1,\ldots,d_r\in\{0,1\}$ を固定し、(2-a)を $n=j_r$ まで適用する。指定しない $j_r-r$ 個の数字について和を取ると

$$P(X_{j_1}=d_1,\ldots,X_{j_r}=d_r)=2^{j_r-r}2^{-j_r}=2^{-r} =\prod_{\ell=1}^rP(X_{j_\ell}=d_\ell).$$

従って有限個の任意の部分族は独立で、各 $X_n$ は0と1を確率 $1/2$ で取る。すなわち $\boxed{\{X_n\}_{n\ge1}\text{ は i.i.d. 系列である}}$ 。

(3)

$\varepsilon_n=2X_n-1$ とおくと、 $\varepsilon_n$ は独立に $\pm1$ を各確率 $1/2$ で取る。また

$$Y:=2U-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{2^n}.$$

$Y$ は $[-1,1]$ 上の一様分布と同じ分布をもつ。部分和 $Y_N=\sum_{n=1}^N\varepsilon_n/2^n$ は $Y$ に概収束し、 $|e^{itY_N}|=1$ なので有界収束定理と独立性から

$$\begin{aligned} \mathbb E[e^{itY}] &=\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N\mathbb E[e^{it\varepsilon_n/2^n}]\\ &=\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N\frac{e^{it/2^n}+e^{-it/2^n}}2 =\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\frac{t}{2^n}\right). \end{aligned}$$

一方、(1)より左辺は $\sin t/t$ である。従って任意の $t\ne0$ に対し

$$\boxed{\frac{\sin t}{t}=\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\frac{t}{2^n}\right)}.$$