東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2022年8月実施 午前 問A

Author

Miyake

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を整数とし, 複素数を成分とする 行列全体の集合を とする. の元で零行列と単位行列をそれぞれ と書く. の元 が を満たすとし, の元 を

により定義する. 以下の問いに答えよ.

(1) 次の行列 について と を求めよ.

(2) を複素ベクトル空間であると考えるとき, が線形独立であることを示せ.

(3) の固有値はすべて であることを示せ.

(4) の逆行列を の線形和で表せ.

Kai

(1)

(2)

複素数 について

が成り立つとする。 式 () に をかけると

となるが、 から がわかり、式 () は

となる。 式 () に をかけると

となるが、 から がわかり、式 () は

となる。 から がわかる。 式 () を仮定して を得たので、 は線形独立である。

(3)

の固有値を とし、これに属する固有ベクトルを （零ベクトルでない）とする：

これに をかけると、

となるが、 なので は零ベクトルではなく、 を得る。 つまり、 の固有値はすべて である。

(4)

とすると、

なので、 のとき となる。 したがって、

は の逆行列である。