東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2022年8月実施 午前 問A

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• TITech
• Nilpotent-Matrix
• Linear-Independence
• Inverse-of-Identity-plus-Nilpotent-Matrix

Author

Miyake

Description

$n \ (n \geq 3)$ を整数とし, 複素数を成分とする $n \times n$ 行列全体の集合を $M_n$ とする. $M_n$ の元で零行列と単位行列をそれぞれ $O, I$ と書く. $M_n$ の元 $A$ が $A^2 \neq O, A^3 = O$ を満たすとし, $M_n$ の元 $X$ を

$$X = I + A + 2A^2$$

により定義する. 以下の問いに答えよ.

(1) 次の行列 $B$ について $B^2$ と $B^3$ を求めよ.

$$B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

(2) $M_n$ を複素ベクトル空間であると考えるとき, $I, A, A^2$ が線形独立であることを示せ.

(3) $X$ の固有値はすべて $1$ であることを示せ.

(4) $X$ の逆行列を $I, A, A^2$ の線形和で表せ.

题目描述

设 $n\geq3$ 为整数，$M_n$ 表示全体复数元素的 $n\times n$ 矩阵组成的集合，分别以 $O$、$I$ 表示其中的零矩阵与单位矩阵。给定 $A\in M_n$ 满足

$$A^2\neq O,\qquad A^3=O,$$

并定义

$$X=I+A+2A^2.$$

回答：

1. 对矩阵

   $$B= \begin{pmatrix} -1&1&0\\ 1&1&2\\ 1&-1&0 \end{pmatrix},$$

   计算 $B^2$ 与 $B^3$。

2. 把 $M_n$ 看作复向量空间，证明 $I,A,A^2$ 线性无关。

3. 证明 $X$ 的全部特征值均为 $1$。

4. 把 $X^{-1}$ 表示成 $I,A,A^2$ 的线性组合。

考点

• 幂零矩阵：利用 $A^3=O$ 而 $A^2\neq O$ 的幂零指数条件处理矩阵多项式。
• 线性无关：假设 $c_0I+c_1A+c_2A^2=O$，通过乘以 $A$、$A^2$ 逐项排除系数。
• 单位矩阵加幂零矩阵：由特征向量或特征多项式判断 $I+A+2A^2$ 的谱，并用有限多项式求逆。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} B^2 &= 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ B^3 &= O \end{aligned}$$

(2)

複素数 $x,y,z$ について

$$\begin{align} xI + yA + zA^2 &= O \tag{a} \end{align}$$

が成り立つとする。 式 ($a$) に $A^2$ をかけると

$$\begin{aligned} xA^2 + yA^3 + zA^4 &= O \end{aligned}$$

となるが、 $A^2 \ne O, A^3 = O$ から $x=0$ がわかり、式 ($a$) は

$$\begin{align} yA + zA^2 &= O \tag{b} \end{align}$$

となる。 式 ($b$) に $A$ をかけると

$$\begin{aligned} yA^2 + zA^3 &= O \end{aligned}$$

となるが、 $A^2 \ne O, A^3 = O$ から $y=0$ がわかり、式 ($b$) は

$$\begin{aligned} zA^2 &= O \end{aligned}$$

となる。 $A^2 \ne O$ から $z=0$ がわかる。 式 ($a$) を仮定して $x=y=z=0$ を得たので、 $I,A,A^2$ は線形独立である。

(3)

$X$ の固有値を $\lambda$ とし、これに属する固有ベクトルを $\boldsymbol{v}$ （零ベクトルでない）とする：

$$\begin{aligned} X \boldsymbol{v} &= \lambda \boldsymbol{v} \\ \boldsymbol{v} + A \boldsymbol{v} + 2A^2 \boldsymbol{v} &= \lambda \boldsymbol{v} \end{aligned}$$

これに $A^2$ をかけると、

$$\begin{aligned} A^2 \boldsymbol{v} + A^3 \boldsymbol{v} + 2A^4 \boldsymbol{v} &= \lambda A^2 \boldsymbol{v} \\ \therefore \ \ A^2 \boldsymbol{v} &= \lambda A^2 \boldsymbol{v} \end{aligned}$$

となるが、 $A^2 \ne O$ なので $A^2 \boldsymbol{v}$ は零ベクトルではなく、 $\lambda = 1$ を得る。 つまり、 $X$ の固有値はすべて $1$ である。

(4)

$Y=aI+bA+cA^2$ とすると、

$$\begin{aligned} XY = aI + (a+b)A + (2a+b+c) A^2 \end{aligned}$$

なので、 $a=1, b=-1, c=-1$ のとき $XY=I$ となる。 したがって、

$$\begin{aligned} I - A - A^2 \end{aligned}$$

は $X$ の逆行列である。