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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2021年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

x,y∈Rd\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^d を 1 次独立な dd 次元列ベクトルとする．ただし次元 dd は 2 以上とする． d×dd \times d 行列 AA を

A=xyT−yxTA = \boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^T - \boldsymbol{y}\boldsymbol{x}^T

と定義する．ここで zT\boldsymbol{z}^T は z\boldsymbol{z} の転置である．また z∈Rd\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^d のノルムを ∥z∥=zTz\|\boldsymbol{z}\| = \sqrt{\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z}} とする． 解答では，コーシー・シュワルツ不等式とその等号成立条件に関する事実を証明なしに用いてよい．

(1) d=2d = 2 のとき， A5=AA^5 = A を満たす x,y∈R2\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^2 の例を一組見つけよ．

(2) A2A^2 の非ゼロ固有値に対応する固有ベクトルは x\boldsymbol{x} と y\boldsymbol{y} の線形和で表されることを証明せよ．

(3) A2A^2 の非ゼロ固有値を x,y\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} とそれらのノルムで表せ．

(4) A3≠AA^3 \neq A を証明せよ．

题目描述​

设维数 d≥2d\geq2，x,y∈Rd\boldsymbol x,\boldsymbol y\in\mathbb R^d 是线性无关的列向量，定义

A=xy⊤−yx⊤.A=\boldsymbol x\boldsymbol y^\top-\boldsymbol y\boldsymbol x^\top.

其中 z⊤\boldsymbol z^\top 表示转置，向量范数定义为

∥z∥=z⊤z.\|\boldsymbol z\|=\sqrt{\boldsymbol z^\top\boldsymbol z}.

解答中可以直接使用 Cauchy–Schwarz 不等式及其等号成立条件。

  1. 当 d=2d=2 时，找出一组 x,y∈R2\boldsymbol x,\boldsymbol y\in\mathbb R^2，使 A5=AA^5=A。
  2. 证明 A2A^2 的任一非零特征值所对应的特征向量，都可表示为 x\boldsymbol x 与 y\boldsymbol y 的线性组合。
  3. 用 x,y\boldsymbol x,\boldsymbol y 及它们的范数表示 A2A^2 的非零特征值。
  4. 证明 A3≠AA^3\neq A。

Kai​

a=∥x∥2a=\|\boldsymbol{x}\|^2 , b=xTyb=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y} , c=∥y∥2c=\|\boldsymbol{y}\|^2 および

Δ=ac−b2=∥x∥2∥y∥2−(xTy)2\Delta=ac-b^2 =\|\boldsymbol{x}\|^2\|\boldsymbol{y}\|^2-(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y})^2

とおく。 x,y\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} は一次独立なので，コーシー・シュワルツ不等式の等号条件から Δ>0\Delta>0 である。

(1)​

例えば

x=(10),y=(01)\boxed{\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

と取る。このとき

A=(01−10),A2=−I2,A4=I2,A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad A^2=-I_2,\qquad A^4=I_2,

したがって A5=AA^5=A である。

(2)​

任意の v∈Rd\boldsymbol{v}\in\mathbb R^d に対して

Av=x(yTv)−y(xTv)∈span⁡{x,y}.A\boldsymbol{v} =\boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{v}) -\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{v}) \in\operatorname{span}\{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\}.

従って Im⁡A2⊆span⁡{x,y}\operatorname{Im}A^2\subseteq\operatorname{span}\{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\} である。 A2v=λvA^2\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v} かつ λ≠0\lambda\neq0 なら

v=λ−1A2v∈span⁡{x,y}.\boldsymbol{v}=\lambda^{-1}A^2\boldsymbol{v}\in\operatorname{span}\{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\}.

よって非零固有値に属する固有ベクトルは x,y\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} の線形和で表される。

(3)​

直接計算すると

Ax=bx−ay,Ay=cx−by.A\boldsymbol{x}=b\boldsymbol{x}-a\boldsymbol{y},\qquad A\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}-b\boldsymbol{y}.

さらに

A2x=−Δx,A2y=−Δy.A^2\boldsymbol{x}=-\Delta\boldsymbol{x},\qquad A^2\boldsymbol{y}=-\Delta\boldsymbol{y}.

一方， span⁡{x,y}\operatorname{span}\{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\} の直交補空間では A=0A=0 である。従って A2A^2 の非零固有値は

−Δ=−(∥x∥2∥y∥2−(xTy)2)\boxed{-\Delta=-\left(\|\boldsymbol{x}\|^2\|\boldsymbol{y}\|^2-(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y})^2\right)}

のみであり，その重複度は2である（残りの d−2d-2 個の固有値は0）。

(4)​

任意の v\boldsymbol{v} について Av∈span⁡{x,y}A\boldsymbol{v}\in\operatorname{span}\{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\} であり，この二次元部分空間上で A2=−ΔIA^2=-\Delta I だから

A3=−ΔA.A^3=-\Delta A.

もし A3=AA^3=A なら (Δ+1)A=0(\Delta+1)A=0 となる。しかし Δ>0\Delta>0 であり，一次独立性から A≠0A\neq0 なので矛盾する。ゆえに

A3≠A.\boxed{A^3\neq A}.
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