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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2020年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

3n3n 個の確率変数 X1,X2,…,X2n,Y1,Y2,…,YnX_1, X_2, \dots, X_{2n}, Y_1, Y_2, \dots, Y_n は互いに独立とする． X1,X2,…,X2nX_1, X_2, \dots, X_{2n} は指数分布 Exp(θ)\text{Exp}(\theta) に従い，また Y1,Y2,…,YnY_1, Y_2, \dots, Y_n は指数分布 Exp(θ2)\text{Exp}(\theta^2) に従うとする．さらに， X1,X2,…,X2nX_1, X_2, \dots, X_{2n} の標本平均を X‾\overline{X} とし， Y1,Y2,…,YnY_1, Y_2, \dots, Y_n の標本平均を Y‾\overline{Y} とする．パラメータ θ>0\theta > 0 で定まる指数分布 Exp(θ)\text{Exp}(\theta) の確率密度関数 p(x)p(x) は

p(x)={e−x/θθ,x>0,0,x≤0p(x) = \begin{cases} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta}, & x > 0, \\ 0, & x \le 0 \end{cases}

で与えられる．

(1) パラメータ θ\theta に関する尤度関数 L(θ)L(\theta) を計算せよ．

(2) パラメータ θ\theta の最尤推定量を X‾,Y‾\overline{X}, \overline{Y} で表せ．

题目描述​

共有 3n3n 个相互独立的随机变量

X1,…,X2n,Y1,…,Yn.X_1,\ldots,X_{2n},Y_1,\ldots,Y_n.

其中 X1,…,X2nX_1,\ldots,X_{2n} 服从 Exp⁡(θ)\operatorname{Exp}(\theta)，Y1,…,YnY_1,\ldots,Y_n 服从 Exp⁡(θ2)\operatorname{Exp}(\theta^2)。分别记两组样本均值为 X‾\overline X、Y‾\overline Y。本题采用的参数化为：对 θ>0\theta>0，

p(x)={1θe−x/θ,x>0,0,x≤0.p(x)= \begin{cases} \dfrac1\theta e^{-x/\theta},&x>0,\\ 0,&x\leq0. \end{cases}
  1. 计算关于参数 θ\theta 的似然函数 L(θ)L(\theta)。
  2. 用 X‾\overline X 和 Y‾\overline Y 表示 θ\theta 的最大似然估计量。

Kai​

解答​

観測値を x1,…,x2n,y1,…,ynx_1,\ldots,x_{2n},y_1,\ldots,y_n と書く。

(1)​

すべての観測値が正であるとき、独立性より

L(θ)=∏i=12n(1θe−xi/θ)∏j=1n(1θ2e−yj/θ2)=θ−4nexp⁡(−2nX‾θ−nY‾θ2),θ>0.\begin{aligned} L(\theta) &=\prod_{i=1}^{2n}\left(\frac1\theta e^{-x_i/\theta}\right) \prod_{j=1}^n\left(\frac1{\theta^2}e^{-y_j/\theta^2}\right)\\ &=\theta^{-4n}\exp\left(-\frac{2n\overline X}{\theta}-\frac{n\overline Y}{\theta^2}\right),\qquad \theta>0. \end{aligned}

したがって

L(θ)=θ−4nexp⁡(−2nX‾θ−nY‾θ2)(θ>0).\boxed{L(\theta)=\theta^{-4n}\exp\left(-\frac{2n\overline X}{\theta}-\frac{n\overline Y}{\theta^2}\right)\quad(\theta>0)}.

いずれかの観測値が非正なら、支持領域の指示関数により尤度は 00 である。

(2)​

対数尤度は、 θ\theta によらない定数を除いて

ℓ(θ)=−4nlog⁡θ−2nX‾θ−nY‾θ2\ell(\theta)=-4n\log\theta-\frac{2n\overline X}{\theta}-\frac{n\overline Y}{\theta^2}

であり、

ℓ′(θ)=2nθ3(−2θ2+X‾θ+Y‾).\ell'(\theta)=\frac{2n}{\theta^3}\left(-2\theta^2+\overline X\theta+\overline Y\right).

したがって停留条件は

2θ2−X‾θ−Y‾=0.2\theta^2-\overline X\theta-\overline Y=0.

正の解を取ると

θ^ML=X‾+X‾2+8Y‾4.\boxed{\widehat\theta_{\mathrm{ML}} =\frac{\overline X+\sqrt{\overline X^2+8\overline Y}}{4}}.

実際、 θ>0\theta>0 では ℓ′(θ)\ell'(\theta) はこの点の前で正、後で負となる。またほとんど確実に X‾,Y‾>0\overline X,\overline Y>0 で、 θ↓0\theta\downarrow0 および θ→∞\theta\to\infty では ℓ(θ)→−∞\ell(\theta)\to-\infty なので、これは一意な大域的最大点である。

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