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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2020年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の問に答えよ．

(1) 確率変数 U1,U2,…U_1, U_2, \dots が互いに独立に [0,1][0, 1] 上の一様分布に従うとする．確率変数 Xn=max⁡{U1,U2,…,Un}X_n = \max\{U_1, U_2, \dots, U_n\} の分布関数 Fn(x)=P(Xn≤x)F_n(x) = \text{P}(X_n \le x) を求めよ．

(2) (1) の XnX_n を用いて Yn=n(1−Xn)Y_n = n(1 - X_n) と置く． YnY_n の分布関数 Gn(y)=P(Yn≤y)G_n(y) = \text{P}(Y_n \le y) を求め，さらに YnY_n の極限分布関数 G(y)=lim⁡n→∞Gn(y)G(y) = \lim_{n \to \infty} G_n(y) を求めよ．

(3) (2) の YnY_n の期待値 E[Yn]\text{E}[Y_n] を求め，さらにその極限 lim⁡n→∞E[Yn]\lim_{n \to \infty} \text{E}[Y_n] を求めよ．

(4) 確率変数 V1,V2,…V_1, V_2, \dots が互いに独立に確率密度関数 fV(v)={e−v,v≥0,0,v<0f_V(v) = \begin{cases} e^{-v}, & v \ge 0, \\ 0, & v < 0 \end{cases} の指数分布に従うとき，

Zn=max⁡{V1,V2,…,Vn}−log⁡enZ_n = \max\{V_1, V_2, \dots, V_n\} - \log_e n

の極限分布関数 H(z)=lim⁡n→∞P(Zn≤z)H(z) = \lim_{n \to \infty} \text{P}(Z_n \le z) を求めよ．

题目描述​

  1. 设 U1,U2,…U_1,U_2,\ldots 相互独立且都服从 [0,1][0,1] 上的均匀分布。对
Xn=max⁡{U1,…,Un},X_n=\max\{U_1,\ldots,U_n\},

求分布函数 Fn(x)=P(Xn≤x)F_n(x)=P(X_n\leq x)。 2. 利用第 1 问的 XnX_n 定义

Yn=n(1−Xn).Y_n=n(1-X_n).

求 YnY_n 的分布函数 Gn(y)=P(Yn≤y)G_n(y)=P(Y_n\leq y)，并求逐点极限分布函数

G(y)=lim⁡n→∞Gn(y).G(y)=\lim_{n\to\infty}G_n(y).
  1. 计算 E[Yn]E[Y_n] 以及极限 lim⁡n→∞E[Yn]\lim_{n\to\infty}E[Y_n]。
  2. 设 V1,V2,…V_1,V_2,\ldots 相互独立，且每个变量都服从密度
fV(v)={e−v,v≥0,0,v<0f_V(v)= \begin{cases} e^{-v},&v\geq0,\\ 0,&v<0 \end{cases}

的指数分布。定义

Zn=max⁡{V1,…,Vn}−log⁡en.Z_n=\max\{V_1,\ldots,V_n\}-\log_e n.

求极限分布函数

H(z)=lim⁡n→∞P(Zn≤z).H(z)=\lim_{n\to\infty}P(Z_n\leq z).

Kai​

解答​

(1)​

0≤x≤10\le x\le1 では独立性より

P(Xn≤x)=P(U1≤x,…,Un≤x)=xn.P(X_n\le x)=P(U_1\le x,\ldots,U_n\le x)=x^n.

したがって

Fn(x)={0,x<0,xn,0≤x≤1,1,x>1\boxed{ F_n(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ x^n,&0\le x\le1,\\ 1,&x>1 \end{cases}}

である。

(2)​

YnY_n の値域は [0,n][0,n] である。 0≤y≤n0\le y\le n では連続分布であることに注意すると

Gn(y)=P(Xn≥1−yn)=1−P(Xn<1−yn)=1−(1−yn)n.\begin{aligned} G_n(y) &=P\left(X_n\ge1-\frac yn\right)\\ &=1-P\left(X_n<1-\frac yn\right) =1-\left(1-\frac yn\right)^n. \end{aligned}

よって

Gn(y)={0,y<0,1−(1−yn)n,0≤y≤n,1,y>n\boxed{ G_n(y)= \begin{cases} 0,&y<0,\\ 1-\left(1-\dfrac yn\right)^n,&0\le y\le n,\\ 1,&y>n \end{cases}}

である。固定した y≥0y\ge0 に対し (1−y/n)n→e−y(1-y/n)^n\to e^{-y} なので、極限分布関数は

G(y)={0,y<0,1−e−y,y≥0\boxed{ G(y)= \begin{cases} 0,&y<0,\\ 1-e^{-y},&y\ge0 \end{cases}}

となる。

(3)​

XnX_n の密度は 0<x<10<x<1 で nxn−1nx^{n-1} なので

E[Xn]=∫01x nxn−1 dx=nn+1.E[X_n]=\int_0^1x\,nx^{n-1}\,dx=\frac{n}{n+1}.

したがって

E[Yn]=n(1−E[Xn])=nn+1,lim⁡n→∞E[Yn]=1.\boxed{E[Y_n]=n(1-E[X_n])=\frac{n}{n+1}}, \qquad \boxed{\lim_{n\to\infty}E[Y_n]=1}.

(4)​

各 ViV_i の分布関数は v≥0v\ge0 で 1−e−v1-e^{-v} である。固定した z∈Rz\in\mathbb R に対して十分大きな nn では log⁡n+z>0\log n+z>0 なので

P(Zn≤z)=P(V1≤log⁡n+z,…,Vn≤log⁡n+z)=(1−e−(log⁡n+z))n=(1−e−zn)n.\begin{aligned} P(Z_n\le z) &=P(V_1\le\log n+z,\ldots,V_n\le\log n+z)\\ &=\left(1-e^{-(\log n+z)}\right)^n =\left(1-\frac{e^{-z}}n\right)^n. \end{aligned}

ゆえに

H(z)=exp⁡(−e−z)(z∈R).\boxed{H(z)=\exp(-e^{-z})\qquad(z\in\mathbb R)}.
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