東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2020年8月実施 微积分

标签：

• TITech
• Multivariable-Differentiation
• Limit

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$xy$ -平面 $\mathbb{R}^2$ の領域 $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x, y) \neq (0, 0)\}$ で定義された関数

$$f(x, y) = \frac{x}{(x^2 + y^2)^2}$$

について以下の問に答えよ．

(1) $x = 0$ で定義された直線に沿って点 $(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ に近づくときの $f(x, y)$ の極限を求めよ．

(2) $k \in \mathbb{R}$ を固定し， $y = kx$ で定義される直線に沿って点 $(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ に近づくとき， $|f(x, y)|$ は $+\infty$ に発散することを示せ．

(3) 任意の実数 $a$ に対して，原点に近づく $D$ の点列 $((x_n, y_n))_{n \ge 1}$ で

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n, y_n) = a$$

となるものが存在することを示せ．

题目描述

在去掉原点的平面区域

$$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid(x,y)\neq(0,0)\}$$

上定义

$$f(x,y)=\frac{x}{(x^2+y^2)^2}.$$

1. 当 $(x,y)$ 沿直线 $x=0$ 趋近原点时，求 $f(x,y)$ 的极限。
2. 固定任意 $k\in\mathbb R$，证明当 $(x,y)$ 沿直线 $y=kx$ 趋近原点时，$|f(x,y)|\to+\infty$。
3. 证明对每个实数 $a$，都存在一列 $D$ 中的点 $\{(x_n,y_n)\}_{n\geq1}$ 趋近原点，并满足

$$\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=a.$$

Kai

解答

(1)

直線 $x=0$ 上では、 $y\ne0$ に対して

$$f(0,y)=0$$

である。したがって

$$\boxed{\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\x=0}}f(x,y)=0}.$$

(2)

直線 $y=kx$ 上で $x\ne0$ とすると

$$f(x,kx)=\frac{x}{\{(1+k^2)x^2\}^2} =\frac{1}{(1+k^2)^2x^3}.$$

よって

$$|f(x,kx)|=\frac{1}{(1+k^2)^2|x|^3}\longrightarrow+\infty \qquad(x\to0).$$

したがって、任意の固定した $k\in\mathbb R$ に対して主張が成り立つ。

(3)

任意の $a\in\mathbb R$ を固定し、

$$r_n=\frac{1}{n(1+|a|)},\qquad x_n=ar_n^4,\qquad y_n=r_n\sqrt{1-a^2r_n^6}$$

と置く。 $|a|r_n^3\le1$ なので平方根は実数である。また

$$x_n^2+y_n^2=a^2r_n^8+r_n^2(1-a^2r_n^6)=r_n^2>0$$

であるから $(x_n,y_n)\in D$ であり、 $r_n\to0$ より $(x_n,y_n)\to(0,0)$ である。さらに

$$f(x_n,y_n)=\frac{ar_n^4}{(r_n^2)^2}=a$$

がすべての $n$ で成り立つ。したがって

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=a}$$

であり、所望の点列が構成された。