東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2020年8月実施 线性代数

标签：

• TITech
• Basis-and-Dimension
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• Matrix-Determinant
• Matrix-Power

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$\boldsymbol{A}$ を $4 \times 4$ 行列， $\boldsymbol{b}$ を 4 次元列ベクトル， $\boldsymbol{I}$ を $4 \times 4$ 単位行列とする．これらを左から順に並べた $4 \times 9$ 行列 $(\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{b} \ \boldsymbol{I})$ の左側から $4 \times 4$ 行列 $\boldsymbol{P}$ を乗じたとき

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

を得る．以下の問に答えよ．

(1) $4 \times 4$ 行列 $\boldsymbol{P}$ を記せ．

(2) $\boldsymbol{A}$ の行列式を計算せよ．

(3) 線形方程式 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ の解 $\boldsymbol{x}$ を計算せよ．

(4) $\boldsymbol{A}$ の逆行列を計算せよ．

题目描述

设 $\boldsymbol A$ 是 $4\times4$ 矩阵，$\boldsymbol b$ 是四维列向量，$\boldsymbol I$ 是 $4\times4$ 单位矩阵。把三者从左到右拼成 $4\times9$ 矩阵 $(\boldsymbol A\ \boldsymbol b\ \boldsymbol I)$，再从左侧乘以某个 $4\times4$ 矩阵 $\boldsymbol P$，所得矩阵为

$$\begin{pmatrix} 1&-1&1&-1&0&-1&0&0&0\\ 0&1&1&4&1&2&1&0&0\\ 0&0&1&5&3&2&2&1&0\\ 0&0&0&1&1&1&1&0&1 \end{pmatrix}.$$

1. 写出矩阵 $\boldsymbol P$。
2. 计算 $\det\boldsymbol A$。
3. 求线性方程组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解 $\boldsymbol x$。
4. 计算 $\boldsymbol A^{-1}$。

Kai

解答

与えられた $4\times9$ 行列を、最初の4列、次の1列、最後の4列に分けて

$$(U\ \ c\ \ P)$$

と書く。仮定 $P(A\ \ b\ \ I)=(PA\ \ Pb\ \ P)$ と比較すると

$$PA=U,\qquad Pb=c$$

である。

(1)

最後の4列を読み取れば

$$\boxed{P= \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 2&1&0&0\\ 2&2&1&0\\ 1&1&0&1 \end{bmatrix}}.$$

(2)

最初の4列は

$$U=\begin{bmatrix} 1&-1&1&-1\\ 0&1&1&4\\ 0&0&1&5\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

である。 $PA=U$ から

$$\det(P)\det(A)=\det(U).$$

両行列は三角行列で、 $\det(P)=-1$ 、 $\det(U)=1$ だから

$$\boxed{\det(A)=-1}.$$

(3)

$Ax=b$ に左から $P$ を掛けると

$$Ux=c,\qquad c=\begin{bmatrix}0\\1\\3\\1\end{bmatrix}$$

となる。後退代入により順に

$$x_4=1,\qquad x_3=-2,\qquad x_2=-1,\qquad x_1=2$$

を得る。したがって

$$\boxed{x=\begin{bmatrix}2\\-1\\-2\\1\end{bmatrix}}.$$

(4)

$PA=U$ より $A^{-1}=U^{-1}P$ である。ここで

$$U^{-1}= \begin{bmatrix} 1&1&-2&7\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&1&-5\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

したがって積を計算すると

$$\boxed{A^{-1}= \begin{bmatrix} 4&4&-2&7\\ 1&0&-1&1\\ -3&-3&1&-5\\ 1&1&0&1 \end{bmatrix}}.$$

実際、 $A=P^{-1}U$ なので $(P^{-1}U)(U^{-1}P)=I$ となり、この結果を検算できる。