東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2019年8月実施 概率统计

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• Independence-of-Random-Variables
• Normal-Distribution

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

事象 $A$ の確率を $P(A)$ で表す．事象の列 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ に対して，

$$\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$$

と定義する．確率変数列に関する各種極限定理を前提とせずに以下の問 (1), (2) に答えよ．また，必要に応じて，不等式

$$\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}\right) e^{-x^2/2} < \int_x^{\infty} e^{-y^2/2} dy < \frac{1}{x} e^{-x^2/2}, \quad x > 0,$$

を証明なしに用いてもよい．

(1) $\{B_n\}_{n=1}^{\infty}$ を独立事象列とする．

(i) 以下の不等式を示せ．

$$P\left(\bigcap_{k=1}^n B_k^c\right) \le \exp\left(-\sum_{k=1}^n P(B_k)\right).$$

ここで， $B^c$ は事象 $B$ の余事象を表す．

(ii) $\sum_{n=1}^{\infty} P(B_n) = \infty$ のとき，任意の $n = 1, 2, \dots$ に対して $P(\bigcup_{k=n}^{\infty} B_k) = 1$ が成り立つことを示せ．

(iii) $\sum_{n=1}^{\infty} P(B_n) = \infty$ のとき， $P(\limsup_{n \to \infty} B_n) = 1$ が成り立つことを示せ．

(2) $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ を独立同分布確率変数列とし， $X_n$ は標準正規分布に従うとする． $n = 1, 2, \dots$ に対して $S_n = X_1 + \dots + X_n$ とおく．

(i) $P(\limsup_{n \to \infty} \{|X_n| \ge \sqrt{\log n}\}) = 1$ を示せ．

(ii) $P(\limsup_{n \to \infty} \{|S_n| \ge 2\sqrt{n \log n}\})$ を求めよ．

题目描述

用 $P(A)$ 表示事件 $A$ 的概率。对事件列 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$，定义

$$\limsup_{n\to\infty}A_n =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k.$$

回答以下问题时，不得把关于随机变量列的各种极限定理作为前提；需要时可直接使用

$$\left(\frac1x-\frac1{x^3}\right)e^{-x^2/2} <\int_x^\infty e^{-y^2/2}\,dy <\frac1x e^{-x^2/2}, \qquad x>0.$$

1. 设 $\{B_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一列相互独立的事件。

   1. 证明
   $$P\!\left(\bigcap_{k=1}^nB_k^c\right) \leq \exp\!\left(-\sum_{k=1}^nP(B_k)\right),$$

   其中 $B^c$ 表示 $B$ 的补事件。 2. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}P(B_n)=\infty$，证明对每个 $n=1,2,\ldots$ 都有

   $$P\!\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}B_k\right)=1.$$
   3. 在同一发散条件下，证明
   $$P\!\left(\limsup_{n\to\infty}B_n\right)=1.$$

2. 设 $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ 独立同分布，且每个 $X_n$ 都服从标准正态分布；令 $S_n=X_1+\cdots+X_n$。

   1. 证明
   $$P\!\left(\limsup_{n\to\infty} \{|X_n|\geq\sqrt{\log n}\}\right)=1.$$
   2. 求
   $$P\!\left(\limsup_{n\to\infty} \{|S_n|\geq2\sqrt{n\log n}\}\right).$$

Kai

解答

(1)(i)

独立性と $1-t\le e^{-t}$ （ $0\le t\le1$ ）を用いると

$$\begin{aligned} P\left(\bigcap_{k=1}^nB_k^c\right) &=\prod_{k=1}^nP(B_k^c) =\prod_{k=1}^n\{1-P(B_k)\}\\ &\le\prod_{k=1}^ne^{-P(B_k)} =\exp\left(-\sum_{k=1}^nP(B_k)\right). \end{aligned}$$

(1)(ii)

$n$ を固定する。 $m\ge n$ に対して (i) と同じ議論から

$$P\left(\bigcap_{k=n}^mB_k^c\right) \le\exp\left(-\sum_{k=n}^mP(B_k)\right).$$

仮定より右辺は $m\to\infty$ で $0$ に収束する。事象 $\bigcap_{k=n}^mB_k^c$ は $m$ について単調減少するので、確率の上からの連続性より

$$P\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}B_k^c\right)=0.$$

余事象を取れば

$$\boxed{P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}B_k\right)=1}$$

である。

(1)(iii)

$E_n=\bigcup_{k=n}^{\infty}B_k$ と置くと、 $E_n$ は単調減少し、(ii) より $P(E_n)=1$ である。したがって

$$P\left(\limsup_{n\to\infty}B_n\right) =P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n\right) =\lim_{n\to\infty}P(E_n)=\boxed{1}.$$

(2)(i)

$B_n=\{|X_n|\ge\sqrt{\log n}\}$ と置く。これらは独立である。 $n$ が十分大きいとき、与えられた正規分布の裾の下界から

$$\begin{aligned} P(B_n) &=\sqrt{\frac2\pi}\int_{\sqrt{\log n}}^\infty e^{-y^2/2}\,dy\\ &>\sqrt{\frac2\pi}\left(\frac1{\sqrt{\log n}}-\frac1{(\log n)^{3/2}}\right)n^{-1/2}\\ &\ge\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1{\sqrt{n\log n}} \ge\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1n. \end{aligned}$$

よって $\sum_nP(B_n)=\infty$ である。(1)(iii) を適用して

$$\boxed{P\left(\limsup_{n\to\infty}\{|X_n|\ge\sqrt{\log n}\}\right)=1}.$$

(2)(ii)

正規分布の再生性より、各 $n$ について厳密に $S_n/\sqrt n$ は標準正規分布に従う（これは極限定理ではない）。 $C_n=\{|S_n|\ge2\sqrt{n\log n}\}$ と置くと、与えられた裾の上界から

$$P(C_n) =\sqrt{\frac2\pi}\int_{2\sqrt{\log n}}^\infty e^{-y^2/2}\,dy <\frac{1}{\sqrt{2\pi\log n}}\frac1{n^2}.$$

したがって $\sum_{n\ge2}P(C_n)<\infty$ である。和事象に対する不等式を使えば

$$P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}C_k\right) \le\sum_{k=n}^{\infty}P(C_k)\longrightarrow0.$$

ゆえに

$$\boxed{P\left(\limsup_{n\to\infty}\{|S_n|\ge2\sqrt{n\log n}\}\right)=0}.$$