東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2019年8月実施 微积分

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• Integration

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

関数 $f(x) = \frac{x}{1 + x^3}$ $(-1 < x < 1)$ を考える．以下の問に答えよ．

(1) $f(x)$ の $x = 0$ を中心とする冪（べき）級数展開

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

を考える．このとき $a_n$ の値 $(n = 0, 1, 2, \dots)$ を求めよ．

(2) 積分 $100 \int_0^{1/2} f(x) dx$ の値に最も近い整数を求めよ．

题目描述

在 $-1<x<1$ 上考虑函数

$$f(x)=\frac{x}{1+x^3}.$$

1. 将 $f$ 在 $x=0$ 附近展开为幂级数

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,$$

并求出每个系数 $a_n$（$n=0,1,2,\ldots$）。 2. 求最接近数值

$$100\int_0^{1/2}f(x)\,dx$$

的整数。

Kai

解答

(1)

$|x|<1$ では等比級数を用いて

$$\frac{1}{1+x^3}=\sum_{k=0}^{\infty}(-x^3)^k$$

と書ける。したがって

$$f(x)=\frac{x}{1+x^3}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{3k+1}.$$

よって係数は

$$\boxed{ a_n= \begin{cases} (-1)^k,&n=3k+1\quad(k=0,1,2,\ldots),\\ 0,&n\not\equiv1\pmod 3 \end{cases}}$$

である。

(2)

$0\le x\le1/2$ では上の等比級数は一様収束するため、項別積分できる。したがって

$$100\int_0^{1/2}f(x)\,dx =100\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{3k+2}\left(\frac12\right)^{3k+2}.$$

各項の絶対値は単調に $0$ へ減少するので、交代級数の評価により、第2部分和と第3部分和の間に和がある。すなわち

$$\frac{95}{8}=12.5-0.625 <100\int_0^{1/2}f(x)\,dx <\frac{95}{8}+\frac{25}{512} =\frac{6105}{512}.$$

数値的には

$$11.875<100\int_0^{1/2}f(x)\,dx<11.924.$$

この区間は $(11.5,12.5)$ に含まれるので、最も近い整数は

$$\boxed{12}$$

である。