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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問B

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祭音Myyura with GPT-5

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以下の問いに答えよ．ただし必要ならば

∫0∞e−x2dx=π2\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

であることは証明なしで使ってよい．

(1) s>0s > 0 に対し，広義積分 ∫0∞e−xxs−1dx\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx が収束することを示せ．

(2) s>0s > 0 に対し，ガンマ関数 Γ(s)\Gamma(s) を Γ(s)=∫0∞e−xxs−1dx\Gamma(s) = \int_0^{\infty} e^{-x}x^{s-1}dx と定める．このとき Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1) = s\Gamma(s) を示せ．

(3) ガンマ関数 Γ(s)\Gamma(s) の s=32s = \frac{3}{2} での値 Γ(32)\Gamma \left( \frac{3}{2} \right) を求めよ．

题目描述​

回答以下问题；如有需要，可直接使用而无须证明

∫0∞e−x2 dx=π2.\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}.
  1. 对任意 s>0s>0，证明反常积分
∫0∞e−xxs−1 dx\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx

是收敛的。 2. 对 s>0s>0 定义 Gamma 函数

Γ(s)=∫0∞e−xxs−1 dx.\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx.

证明其满足

Γ(s+1)=sΓ(s).\Gamma(s+1)=s\Gamma(s).
  1. 计算 Gamma 函数在 s=32s=\frac32 处的值 Γ ⁣(32)\Gamma\!\left(\frac32\right)。

Kai​

(1)​

積分を 00 の近傍と無限遠の部分に分ける。

∫0∞xs−1e−xdx=∫01xs−1e−xdx+∫1∞xs−1e−xdx.\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx =\int_0^1x^{s-1}e^{-x}dx+\int_1^\infty x^{s-1}e^{-x}dx.

0<x≤10<x\leq1 では e−x≤1e^{-x}\leq1 なので

0≤∫01xs−1e−xdx≤∫01xs−1dx=1s<∞.0\leq\int_0^1x^{s-1}e^{-x}dx \leq\int_0^1x^{s-1}dx=\frac1s<\infty.

x→∞x\to\infty では指数関数が任意の多項式より速く増大するため

lim⁡x→∞xs−1e−xx−2=lim⁡x→∞xs+1e−x=0.\lim_{x\to\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{x^{-2}} =\lim_{x\to\infty}x^{s+1}e^{-x}=0.

従って十分大きい xx では xs−1e−x≤x−2x^{s-1}e^{-x}\leq x^{-2} となり、比較判定法から第 2 の積分も収束する。よって広義積分全体が収束する。

(2)​

Γ(s+1)=∫0∞e−xxsdx=[−e−xxs]0∞+∫0∞se−xxs−1dx=sΓ(s)\begin{aligned} \Gamma(s+1) &= \int_0^{\infty} e^{-x} x^s dx \\ &= \left[ -e^{-x} x^s \right]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} se^{-x}x^{s-1}dx \\ &= s\Gamma(s) \end{aligned}

(3)​

Γ(32)=12Γ(12)=12∫0∞e−xx−1/2dx=∫0∞e−y2dy=π2\begin{aligned} \Gamma \left( \frac{3}{2}\right) &= \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{-1/2} dx \\ &= \int_0^{\infty} e^{-y^2}dy \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{aligned}
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