東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問B

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• TITech
• Gamma-Function

Author

祭音Myyura with GPT-5

Description

以下の問いに答えよ．ただし必要ならば

$$\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

であることは証明なしで使ってよい．

(1) $s > 0$ に対し，広義積分 $\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx$ が収束することを示せ．

(2) $s > 0$ に対し，ガンマ関数 $\Gamma(s)$ を $\Gamma(s) = \int_0^{\infty} e^{-x}x^{s-1}dx$ と定める．このとき $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ を示せ．

(3) ガンマ関数 $\Gamma(s)$ の $s = \frac{3}{2}$ での値 $\Gamma \left( \frac{3}{2} \right)$ を求めよ．

题目描述

回答下列问题。必要时可以不加证明地使用

$$\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}.$$

1. 对 $s>0$，证明反常积分

   $$\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx$$

   收敛。

2. 对 $s>0$ 定义 Gamma 函数

   $$\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx.$$

   证明递推公式

   $$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s).$$

3. 求

   $$\Gamma\!\left(\frac32\right).$$

考点

• 反常积分收敛：分别控制被积函数在 $0$ 附近的幂次奇性和无穷远处的指数衰减。
• Gamma 函数递推：对定义积分分部积分并验证两个端点的边界项消失。
• 半整数 Gamma 值：经变量代换用 Gaussian 积分求 $\Gamma(1/2)$，再应用递推式得到 $\Gamma(3/2)$。

Kai

(1)

積分を $0$ の近傍と無限遠の部分に分ける。

$$\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx =\int_0^1x^{s-1}e^{-x}dx+\int_1^\infty x^{s-1}e^{-x}dx.$$

$0<x\leq1$ では $e^{-x}\leq1$ なので

$$0\leq\int_0^1x^{s-1}e^{-x}dx \leq\int_0^1x^{s-1}dx=\frac1s<\infty.$$

$x\to\infty$ では指数関数が任意の多項式より速く増大するため

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{x^{-2}} =\lim_{x\to\infty}x^{s+1}e^{-x}=0.$$

従って十分大きい $x$ では $x^{s-1}e^{-x}\leq x^{-2}$ となり、比較判定法から第 2 の積分も収束する。よって広義積分全体が収束する。

(2)

$$\begin{aligned} \Gamma(s+1) &= \int_0^{\infty} e^{-x} x^s dx \\ &= \left[ -e^{-x} x^s \right]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} se^{-x}x^{s-1}dx \\ &= s\Gamma(s) \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \Gamma \left( \frac{3}{2}\right) &= \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{-1/2} dx \\ &= \int_0^{\infty} e^{-y^2}dy \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{aligned}$$