東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問A
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GPT-5
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を 以上の整数とする．
次実対称行列 は異なる固有値 をもつとし， の固有ベクトルを とする．
ただし のユークリッドノルムは とする．以下の問に答えよ．
(1) なら と は直交することを証明せよ．
(2) を 次零行列とし， 次実対称行列 を
と定める． の 個の固有ベクトルを一組求めよ．
ただし各固有ベクトルのユークリッドノルムは とし，異なる固有ベクトルは互いに直交するように選べ．
(3) 行列 について，異なる固有値の個数の最小値を求めよ．また最小値を達成するとき， が満たすべき条件を求めよ．
Kai
(1)
と より、
なら なので、 である。
(2)
から
したがって求める 個は
(1) より は正規直交系であるため、これらもノルム 1 で互いに直交する。
(3)
の固有値の集合は である。一つの非零絶対値には、相異なる を高々 個（正負一つずつ）しか対応させられず、 には高々一つしか対応させられない。従って の相異なる固有値は少なくとも 個必要である。
この下界は、 の固有値集合が符号反転で不変、すなわち
のとき、かつそのときに限り達成される。 が奇数なら特に である。よって相異なる固有値数の最小値は
である。