東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問A

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peter8rabit

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を 以上の整数とする． 次実対称行列 は異なる固有値 をもつとし， の固有ベクトルを とする． ただし のユークリッドノルムは とする．以下の問に答えよ．

(1) なら と は直交することを証明せよ．

(2) を 次零行列とし， 次実対称行列 を

と定める． の 個の固有ベクトルを一組求めよ． ただし各固有ベクトルのユークリッドノルムは とし，異なる固有ベクトルは互いに直交するように選べ．

(3) 行列 について，異なる固有値の個数の最小値を求めよ．また最小値を達成するとき， が満たすべき条件を求めよ．

Kai

(1)

と の内積をとると、 より、

(2)

より、

の固有値を 、その固有ベクトルを () とすると、 より、

従って、

よって、題意を満たすように固有ベクトルをとると

(3)

より、 のとき、 個となる。