東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問A

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GPT-5

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$n$ を $2$ 以上の整数とする． $n$ 次実対称行列 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ は異なる固有値 $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots \lambda_n$ をもつとし， $\lambda_i$ の固有ベクトルを $\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R}^n$ とする． ただし $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_n$ のユークリッドノルムは $1$ とする．以下の問に答えよ．

(1) $i \neq j$ なら $\boldsymbol{x}_i$ と $\boldsymbol{x}_j$ は直交することを証明せよ．

(2) $\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を $n$ 次零行列とし， $2n$ 次実対称行列 $\boldsymbol{B}$ を

$$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix}$$

と定める． $\boldsymbol{B}$ の $2n$ 個の固有ベクトルを一組求めよ． ただし各固有ベクトルのユークリッドノルムは $1$ とし，異なる固有ベクトルは互いに直交するように選べ．

(3) 行列 $B$ について，異なる固有値の個数の最小値を求めよ．また最小値を達成するとき， $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ が満たすべき条件を求めよ．

题目描述

设整数 $n\geq2$。实对称矩阵 $\boldsymbol A\in\mathbb R^{n\times n}$ 有 $n$ 个互不相同的特征值

$$\lambda_1>\lambda_2>\cdots>\lambda_n,$$

并以 $\boldsymbol x_i\in\mathbb R^n$ 表示 $\lambda_i$ 的特征向量；每个 $\boldsymbol x_i$ 的 Euclidean 范数均为 $1$。

1. 证明 $i\neq j$ 时 $\boldsymbol x_i$ 与 $\boldsymbol x_j$ 正交。
2. 令 $\boldsymbol O\in\mathbb R^{n\times n}$ 为零矩阵，定义 $2n$ 阶实对称分块矩阵

$$\boldsymbol B= \begin{pmatrix} \boldsymbol O&\boldsymbol A\\ \boldsymbol A&\boldsymbol O \end{pmatrix}.$$

为 $\boldsymbol B$ 给出一组共 $2n$ 个特征向量，要求它们的 Euclidean 范数均为 $1$，且不同向量两两正交。 3. 求 $\boldsymbol B$ 的不同特征值个数可能达到的最小值，并说明达到最小值时 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 必须满足什么条件。

Kai

(1)

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$ と $\boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}$ より、

$$\lambda_i\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{x}_j =(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i)^T\boldsymbol{x}_j =\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_j =\lambda_j\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{x}_j.$$

$i\ne j$ なら $\lambda_i\ne\lambda_j$ なので、 $\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{x}_j=0$ である。

(2)

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$ から

$$\boldsymbol{B}\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\ \boldsymbol{x}_i\end{pmatrix} =\lambda_i\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\ \boldsymbol{x}_i\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{B}\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\-\boldsymbol{x}_i\end{pmatrix} =-\lambda_i\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\-\boldsymbol{x}_i\end{pmatrix}.$$

したがって求める $2n$ 個は

$$\boxed{ \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\ \boldsymbol{x}_i\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\-\boldsymbol{x}_i\end{pmatrix} \quad(i=1,\ldots,n)}.$$

(1) より $\{\boldsymbol{x}_i\}$ は正規直交系であるため、これらもノルム 1 で互いに直交する。

(3)

$\boldsymbol{B}$ の固有値の集合は $\{\lambda_i,-\lambda_i\mid1\leq i\leq n\}$ である。一つの非零絶対値には、相異なる $\lambda_i$ を高々 $2$ 個（正負一つずつ）しか対応させられず、 $0$ には高々一つしか対応させられない。従って $\boldsymbol{B}$ の相異なる固有値は少なくとも $n$ 個必要である。

この下界は、 $\boldsymbol{A}$ の固有値集合が符号反転で不変、すなわち

$$\boxed{\lambda_i=-\lambda_{n+1-i}\quad(i=1,\ldots,n)}$$

のとき、かつそのときに限り達成される。 $n$ が奇数なら特に $\lambda_{(n+1)/2}=0$ である。よって相異なる固有値数の最小値は

$$\boxed{n}$$

である。