東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問A

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GPT-5

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$n$ を $2$ 以上の整数とする． $n$ 次実対称行列 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ は異なる固有値 $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots \lambda_n$ をもつとし，$\lambda_i$ の固有ベクトルを $\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R}^n$ とする． ただし $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_n$ のユークリッドノルムは $1$ とする．以下の問に答えよ．

(1) $i \neq j$ なら $\boldsymbol{x}_i$ と $\boldsymbol{x}_j$ は直交することを証明せよ．

(2) $\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を $n$ 次零行列とし，$2n$ 次実対称行列 $\boldsymbol{B}$ を

$$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix}$$

と定める．$\boldsymbol{B}$ の $2n$ 個の固有ベクトルを一組求めよ． ただし各固有ベクトルのユークリッドノルムは $1$ とし，異なる固有ベクトルは互いに直交するように選べ．

(3) 行列 $B$ について，異なる固有値の個数の最小値を求めよ．また最小値を達成するとき，$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ が満たすべき条件を求めよ．

题目描述

设 $n\geq2$ 为整数。$n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A\in\mathbb R^{n\times n}$ 具有互不相同的特征值

$$\lambda_1>\lambda_2>\cdots>\lambda_n,$$

对应特征向量为 $\boldsymbol x_i\in\mathbb R^n$，且 $\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_n$ 的 Euclidean 范数均为 $1$。

1. 证明当 $i\neq j$ 时，$\boldsymbol x_i$ 与 $\boldsymbol x_j$ 正交。

2. 以 $\boldsymbol O\in\mathbb R^{n\times n}$ 表示 $n$ 阶零矩阵，并定义 $2n$ 阶实对称矩阵

   $$\boldsymbol B= \begin{pmatrix} \boldsymbol O&\boldsymbol A\\ \boldsymbol A&\boldsymbol O \end{pmatrix}.$$

   求 $\boldsymbol B$ 的一组 $2n$ 个特征向量，要求每个向量的 Euclidean 范数为 $1$，且所选不同特征向量彼此正交。

3. 求矩阵 $\boldsymbol B$ 所能具有的不同特征值个数的最小值；并求达到该最小值时 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 必须满足的条件。

考点

• 实对称矩阵的谱性质：利用对称性证明不同特征值对应的特征向量正交。
• 分块矩阵特征向量：由 $\boldsymbol A\boldsymbol x_i=\lambda_i\boldsymbol x_i$ 构造上下块同号或异号的向量并归一化。
• 特征值重合计数：分析 $\boldsymbol B$ 的谱 $\{\pm\lambda_i\}$，在 $\lambda_i$ 互异且有序的限制下求不同取值数的最小值及取等条件。

Kai

(1)

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$ と $\boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}$ より、

$$\lambda_i\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{x}_j =(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i)^T\boldsymbol{x}_j =\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_j =\lambda_j\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{x}_j.$$

$i\ne j$ なら $\lambda_i\ne\lambda_j$ なので、$\boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{x}_j=0$ である。

(2)

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$ から

$$\boldsymbol{B}\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\ \boldsymbol{x}_i\end{pmatrix} =\lambda_i\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\ \boldsymbol{x}_i\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{B}\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\-\boldsymbol{x}_i\end{pmatrix} =-\lambda_i\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\-\boldsymbol{x}_i\end{pmatrix}.$$

したがって求める $2n$ 個は

$$\boxed{ \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\ \boldsymbol{x}_i\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_i\\-\boldsymbol{x}_i\end{pmatrix} \quad(i=1,\ldots,n)}.$$

(1) より $\{\boldsymbol{x}_i\}$ は正規直交系であるため、これらもノルム 1 で互いに直交する。

(3)

$\boldsymbol{B}$ の固有値の集合は $\{\lambda_i,-\lambda_i\mid1\leq i\leq n\}$ である。一つの非零絶対値には、相異なる $\lambda_i$ を高々 $2$ 個（正負一つずつ）しか対応させられず、$0$ には高々一つしか対応させられない。従って $\boldsymbol{B}$ の相異なる固有値は少なくとも $n$ 個必要である。

この下界は、$\boldsymbol{A}$ の固有値集合が符号反転で不変、すなわち

$$\boxed{\lambda_i=-\lambda_{n+1-i}\quad(i=1,\ldots,n)}$$

のとき、かつそのときに限り達成される。$n$ が奇数なら特に $\lambda_{(n+1)/2}=0$ である。よって相異なる固有値数の最小値は

$$\boxed{n}$$

である。