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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問6

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Author​

GPT-5, 祭音Myyura

Description​

X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n は区間 [0,θ][0,\theta] 上の一様分布から独立に得られた標本であり、その最大値を ZZ とする。

(1) データ X1,…,XnX_1,\ldots,X_n に対する θ\theta の尤度を答えよ。

(2) θ\theta の最尤推定量 TnT_n を求めよ。

(3) TnT_n の期待値と分散を求めよ。

(4) 0≤β≤10\leq\beta\leq1 、 0≤γ≤10\leq\gamma\leq1 に対し、 P(0≤Tn<b)=βP(0\leq T_n<b)=\beta および P(c<Tn≤θ)=γP(c<T_n\leq\theta)=\gamma を満たす b,c∈[0,θ]b,c\in[0,\theta] を求めよ。

(5) 0<α<10<\alpha<1 とし、 θ\theta の 100(1−α)%100(1-\alpha)\% 信頼区間 [k1Tn,k2Tn][k_1T_n,k_2T_n] を構成する。 k2−k1k_2-k_1 が最小となる k1,k2k_1,k_2 を求めよ。

题目描述​

从区间 [0,θ][0,\theta] 上的均匀分布独立抽取样本 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n，并记其最大值为

Z=max⁡(X1,…,Xn).Z=\max(X_1,\ldots,X_n).
  1. 写出给定数据 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 时参数 θ\theta 的似然函数。
  2. 求 θ\theta 的最大似然估计量 TnT_n。
  3. 计算 TnT_n 的期望和方差。
  4. 对 0≤β≤10\leq\beta\leq1、0≤γ≤10\leq\gamma\leq1，求 b,c∈[0,θ]b,c\in[0,\theta]，使
P(0≤Tn<b)=β,P(c<Tn≤θ)=γ.P(0\leq T_n<b)=\beta,\qquad P(c<T_n\leq\theta)=\gamma.
  1. 设 0<α<10<\alpha<1。在形如
[k1Tn,k2Tn][k_1T_n,k_2T_n]

的区间中构造 θ\theta 的 100(1−α)%100(1-\alpha)\% 置信区间，并求使 k2−k1k_2-k_1 最小的系数 k1,k2k_1,k_2。

Kai​

(1)​

z=max⁡iXiz=\max_iX_i とすると、尤度は

L(θ)=θ−n1{θ≥z}\boxed{L(\theta)=\theta^{-n}\mathbf{1}_{\{\theta\geq z\}}}

である。ただし観測値がすべて非負である場合を考えている。

(2)​

θ≥z\theta\geq z の範囲で θ−n\theta^{-n} は単調減少するため、最大値は許される最小の θ\theta で達成される。従って

Tn=Z=max⁡1≤i≤nXi.\boxed{T_n=Z=\max_{1\leq i\leq n}X_i}.

(3)​

0≤t≤θ0\leq t\leq\theta に対して

P(Tn≤t)=∏i=1nP(Xi≤t)=(tθ)n.P(T_n\leq t)=\prod_{i=1}^nP(X_i\leq t)=\left(\frac t\theta\right)^n.

従って密度は ntn−1/θnnt^{n-1}/\theta^n であり、

E[Tn]=nn+1θ,E[Tn2]=nn+2θ2.E[T_n]=\frac{n}{n+1}\theta, \qquad E[T_n^2]=\frac{n}{n+2}\theta^2.

よって

E[Tn]=nθn+1,Var⁡(Tn)=nθ2(n+1)2(n+2).\boxed{E[T_n]=\frac{n\theta}{n+1}, \qquad \operatorname{Var}(T_n)=\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}}.

(4)​

分布関数を直接反転して

(bθ)n=β,1−(cθ)n=γ.\left(\frac b\theta\right)^n=\beta, \qquad 1-\left(\frac c\theta\right)^n=\gamma.

従って

b=θβ1/n,c=θ(1−γ)1/n.\boxed{b=\theta\beta^{1/n}, \qquad c=\theta(1-\gamma)^{1/n}}.

(5)​

R=Tn/θR=T_n/\theta とおけば P(R≤r)=rnP(R\leq r)=r^n (0≤r≤1)(0\leq r\leq1) である。信頼区間が θ\theta を含む事象は

k1R≤1≤k2Rk_1R\leq1\leq k_2R

である。k1<1k_1<1 なら k1k_1 を 11 にしても R≤1R\leq1 より被覆確率は変わらず、幅は小さくなるので、最小解では k1≥1k_1\geq1 としてよい。 l=1/k2l=1/k_2 、 u=1/k1u=1/k_1 とおくと、被覆確率の条件は

un−ln=1−α,0<l<u≤1u^n-l^n=1-\alpha, \qquad 0<l<u\leq1

となる。区間係数の幅は 1/l−1/u1/l-1/u である。上の制約のもとでこれは ll を大きくするほど減少し、最大の ll は u=1u=1 のときに得られる。従って u=1u=1 、 l=α1/nl=\alpha^{1/n} 、すなわち

k1=1,k2=α−1/n\boxed{k_1=1, \qquad k_2=\alpha^{-1/n}}

である。実際、 P(Tn≤θ≤α−1/nTn)=1−αP(T_n\leq\theta\leq\alpha^{-1/n}T_n)=1-\alpha となる。

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