東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問6

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GPT-5

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$X_1,X_2,\ldots,X_n$ は区間 $[0,\theta]$ 上の一様分布から独立に得られた標本であり、その最大値を $Z$ とする。

(1) データ $X_1,\ldots,X_n$ に対する $\theta$ の尤度を答えよ。

(2) $\theta$ の最尤推定量 $T_n$ を求めよ。

(3) $T_n$ の期待値と分散を求めよ。

(4) $0\leq\beta\leq1$、$0\leq\gamma\leq1$ に対し、$P(0\leq T_n<b)=\beta$ および $P(c<T_n\leq\theta)=\gamma$ を満たす $b,c\in[0,\theta]$ を求めよ。

(5) $0<\alpha<1$ とし、$\theta$ の $100(1-\alpha)\%$ 信頼区間 $[k_1T_n,k_2T_n]$ を構成する。$k_2-k_1$ が最小となる $k_1,k_2$ を求めよ。

题目描述

$X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是从区间 $[0,\theta]$ 上的均匀分布独立抽取的样本，记样本最大值为

$$Z=\max(X_1,\ldots,X_n).$$

1. 写出观测数据 $X_1,\ldots,X_n$ 关于参数 $\theta$ 的似然函数。

2. 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $T_n$。

3. 求 $T_n$ 的期望与方差。

4. 对 $0\leq\beta\leq1$、$0\leq\gamma\leq1$，求满足

   $$P(0\leq T_n<b)=\beta,\qquad P(c<T_n\leq\theta)=\gamma$$

   的 $b,c\in[0,\theta]$。

5. 给定 $0<\alpha<1$，构造参数 $\theta$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 置信区间

   $$[k_1T_n,k_2T_n],$$

   并在覆盖率满足要求的条件下，求使 $k_2-k_1$ 最小的 $k_1,k_2$。

考点

• 均匀分布端点的最大似然估计：正确处理似然函数随参数变化的支持集，并由样本最大值确定估计量。
• 最大次序统计量：求 $T_n$ 的分布函数、密度、期望、方差及给定尾概率对应的分位点。
• 枢轴量与最短置信区间：利用 $T_n/\theta$ 的无参数分布，把覆盖率约束转化为对 $k_1,k_2$ 的优化。

Kai

(1)

$z=\max_iX_i$ とすると、尤度は

$$\boxed{L(\theta)=\theta^{-n}\mathbf{1}_{\{\theta\geq z\}}}$$

である。ただし観測値がすべて非負である場合を考えている。

(2)

$\theta\geq z$ の範囲で $\theta^{-n}$ は単調減少するため、最大値は許される最小の $\theta$ で達成される。従って

$$\boxed{T_n=Z=\max_{1\leq i\leq n}X_i}.$$

(3)

$0\leq t\leq\theta$ に対して

$$P(T_n\leq t)=\prod_{i=1}^nP(X_i\leq t)=\left(\frac t\theta\right)^n.$$

従って密度は $nt^{n-1}/\theta^n$ であり、

$$E[T_n]=\frac{n}{n+1}\theta, \qquad E[T_n^2]=\frac{n}{n+2}\theta^2.$$

よって

$$\boxed{E[T_n]=\frac{n\theta}{n+1}, \qquad \operatorname{Var}(T_n)=\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}}.$$

(4)

分布関数を直接反転して

$$\left(\frac b\theta\right)^n=\beta, \qquad 1-\left(\frac c\theta\right)^n=\gamma.$$

従って

$$\boxed{b=\theta\beta^{1/n}, \qquad c=\theta(1-\gamma)^{1/n}}.$$

(5)

$R=T_n/\theta$ とおけば $P(R\leq r)=r^n$ $(0\leq r\leq1)$ である。信頼区間が $\theta$ を含む事象は

$$k_1R\leq1\leq k_2R$$

である。$l=1/k_2$、$u=1/k_1$ とおくと、被覆確率の条件は

$$u^n-l^n=1-\alpha, \qquad 0<l<u\leq1$$

となる。区間係数の幅は $1/l-1/u$ である。上の制約のもとでこれは $l$ を大きくするほど減少し、最大の $l$ は $u=1$ のときに得られる。従って $u=1$、$l=\alpha^{1/n}$、すなわち

$$\boxed{k_1=1, \qquad k_2=\alpha^{-1/n}}$$

である。実際、$P(T_n\leq\theta\leq\alpha^{-1/n}T_n)=1-\alpha$ となる。