東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問6

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GPT-5

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は区間 上の一様分布から独立に得られた標本であり、その最大値を とする。

(1) データ に対する の尤度を答えよ。

(2) の最尤推定量 を求めよ。

(3) の期待値と分散を求めよ。

(4) 、 に対し、 および を満たす を求めよ。

(5) とし、 の 信頼区間 を構成する。 が最小となる を求めよ。

Kai

(1)

とすると、尤度は

である。ただし観測値がすべて非負である場合を考えている。

(2)

の範囲で は単調減少するため、最大値は許される最小の で達成される。従って

(3)

に対して

従って密度は であり、

よって

(4)

分布関数を直接反転して

従って

(5)

とおけば である。信頼区間が を含む事象は

である。、 とおくと、被覆確率の条件は

となる。区間係数の幅は である。上の制約のもとでこれは を大きくするほど減少し、最大の は のときに得られる。従って 、、すなわち

である。実際、 となる。