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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問5

Author

peter8rabit

Description

を正の実数, を満たす 上の確率密度関数として,次の2つの命題 (A), (B) を考える.

(A) .

(B) を確率密度関数 をもつ確率変数とする. このとき, を満たし, 上で連続かつ区分的に連続的微分可能な任意の実数値関数 に対して, かつ であれば

が成り立つ.ここで は期待値を表し, の導関数を表す.

(1) (A) ならば (B) が成り立つことを示せ.

(2) 関数 を次のように定めることによって (B) ならば (A) が成り立つことを示せ.任意に与えた に対して

Kai

(1)

(2)

の原始関数 とおくと、

よって、

を得る。これを解くと、