東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問5

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• TITech
• Exponential-Distribution

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GPT-5

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を正の実数， を を満たす 上の確率密度関数として，次の2つの命題 (A), (B) を考える．

(A) .

(B) を確率密度関数 をもつ確率変数とする． このとき， を満たし， 上で連続かつ区分的に連続的微分可能な任意の実数値関数 に対して， かつ であれば

が成り立つ．ここで は期待値を表し， は の導関数を表す．

(1) (A) ならば (B) が成り立つことを示せ．

(2) 関数 を次のように定めることによって (B) ならば (A) が成り立つことを示せ．任意に与えた に対して

Kai

(1)

まず で部分積分すると

である。また とおけば、仮定から と はともに絶対可積分である。従って は有限な極限を持ち、さらに 自身が絶対可積分なのでその極限は 0 でなければならない。 として

を得る。

(2)

とおく。命題 (B) を指定された に適用すると

なので、第 1 項は 以下である。第 2 項は となる。従って とすると

この微分方程式を解けば である。 は確率密度 の積分なので絶対連続であり、ほとんど至る所で微分して

を得る（確率密度は零集合上の値を変更しても同じ分布を表す）。