東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問3

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• TITech
• Bounded-Linear-Operator

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GPT-5

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区間 $[0, 1]$ 上の実数値連続関数全体のなす線形空間 $C[0, 1]$ に対して，ノルム

$$\|x\| = \max \{|x(t)|; 0 \leq t \leq 1\}$$

を導入したノルム空間を $X$ とおき，$X$ の部分空間 $Y$ を

$$Y = \{x \in C^1[0,1]; x(0)=0\}$$

と定める． ただし $C^1[0,1]$ は $[0, 1]$ 上の $1$ 階連続的微分可能な実数値関数全体を表す． また作用素 $T$ を

$$T: \quad x \rightarrow Tx = \frac{dx}{dt}$$

で定める．このとき，以下の問いに答えよ.

(1) $T$ は $Y$ から $X$ への上への $1$ 対 $1$ の線形作用素となることを示せ．

(2) 逆作用素 $T^{−1}$ が $X$ から $Y$ への有界線形作用素であることを示せ．

(3) $T$ は $Y$ から $X$ への有界線形作用素にならないことを示せ．

题目描述

在区间 $[0,1]$ 上全体实值连续函数组成的线性空间 $C[0,1]$ 上引入范数

$$\|x\|=\max\{|x(t)|\mid0\leq t\leq1\},$$

所得范数空间记为 $X$。定义 $X$ 的子空间

$$Y=\{x\in C^1[0,1]\mid x(0)=0\},$$

其中 $C^1[0,1]$ 表示 $[0,1]$ 上全体一阶连续可微的实值函数。再定义微分算子

$$T:\quad x\longmapsto Tx=\frac{dx}{dt}.$$

1. 证明 $T$ 是从 $Y$ 到 $X$ 的一一且满的线性算子。
2. 证明逆算子 $T^{-1}:X\to Y$ 是有界线性算子；$Y$ 使用从 $X$ 继承的最大值范数。
3. 证明 $T:Y\to X$ 不是有界线性算子。

考点

• 微分算子的双射性：利用初值 $x(0)=0$ 证明单射，并以积分构造任意连续函数的原像。
• 有界线性算子：对积分形式的逆算子建立最大值范数估计。
• 无界算子的反例序列：构造函数值范数受控而导数范数无界的 $C^1$ 函数，否定统一算子界。

Kai

(1)

（単射）

$\forall x_1, x_2 \in Y$ に対して、$Tx_1 = Tx_2$ とすると、$\frac{dx_1}{dt}=\frac{dx_2}{dt}$ より、

$$x_1(t) = x_2(t) + \text{constant}$$

$x_1(0) = x_2(0) = 0$ より、$\text{constant} = 0$。 よって、$x_1 \equiv x_2$。

（全射）

$\forall x \in X$ に対して

$$y(t)=\int_0^t x(s)\,ds$$

とおく。$x$ は連続なので $y\in C^1[0,1]$、$y(0)=0$ であり、$Ty=y'=x$ となる。従って $y\in Y$ で、$T$ は全射である。微分の線形性から $T$ は線形作用素でもある。

(2)

線型性は積分の線型性から従う。

$\forall x \in X$ に対して、

$$\|T^{-1}x\| = \max_{0 \leq t \leq 1} \left \lvert \int_0^t x(s) ds \right \rvert \leq \max \int_0^t |x(s)|ds \leq \max \|x\|t \leq \|x\|$$

より有界。

(3)

$f_n(t)=\sin(n\pi t)$ とおくと $f_n\in Y$ であり、

$$\|f_n\|=1, \qquad \|Tf_n\|=\max_{0\leq t\leq1}|n\pi\cos(n\pi t)|=n\pi.$$

従って $\|Tf_n\|/\|f_n\|=n\pi\to\infty$ である。もし $T$ が有界なら、ある定数 $C$ に対して常に $\|Tx\|\leq C\|x\|$ となるはずなので矛盾する。よって $T$ は有界でない。