東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問3

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• TITech
• Bounded-Linear-Operator

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GPT-5

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区間 上の実数値連続関数全体のなす線形空間 に対して，ノルム

を導入したノルム空間を とおき， の部分空間 を

と定める． ただし は 上の 階連続的微分可能な実数値関数全体を表す． また作用素 を

で定める．このとき，以下の問いに答えよ.

(1) は から への上への 対 の線形作用素となることを示せ．

(2) 逆作用素 が から への有界線形作用素であることを示せ．

(3) は から への有界線形作用素にならないことを示せ．

Kai

(1)

（単射）

に対して、 とすると、 より、

より、。 よって、。

（全射）

に対して

とおく。 は連続なので 、 であり、 となる。従って で、 は全射である。微分の線形性から は線形作用素でもある。

(2)

線型性は積分の線型性から従う。

に対して、

より有界。

(3)

とおくと であり、

従って である。もし が有界なら、ある定数 に対して常に となるはずなので矛盾する。よって は有界でない。