東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問2

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peter8rabit

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1 次元ユークリッド空間 上の通常の位相 に対し， 上の部分集合族 を

で定める．ただし は空集合を表す． このとき以下の問いに答えよ．必要ならばユークリッド空間 におけるコンパクト集合の諸性質を証明なしに用いてよい．

(1) は開集合系として 上に位相を定めることを示せ．

(2) の部分集合 に関する次の命題を示せ．

• が位相空間 の開集合であるならば は位相空間 の開集合である．

また，逆が成立するか否かを理由をつけて述べよ．

(3) 位相空間 がハウスドルフ空間であるか否かを理由をつけて述べよ．

Kai

(1)

(i) は明らか。

(ii) に対して、

• が少なくとも一方が 或は のとき、明らかに 。
• のとき、 はコンパクト集合の和なので、コンパクト。従って、。

(iii) に対して、

• それ以外のとき、。 は、 が閉集合なので無限積も閉集合。また、 が有界なので、これも有界であり、コンパクト。従って、。

(2)

に対して、

• のとき は明らか。
• それ以外のとき、 はコンパクトより、 は有界閉集合なので、 ( はお互いに素) とかける。。

(3)

に対して、 に対して、 かつ とすると、 となる必要がある。

( はお互いに素, はお互いに素) とかける。

しかし、例えば、 より、必ず交わってしまうので、ハウスドルフ空間ではない。