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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問2

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GPT-5

Description​

1 次元ユークリッド空間 R\mathbb{R} 上の通常の位相 U\mathcal{U} に対し，R\mathbb{R} 上の部分集合族 U∗\mathcal{U}^* を

U∗={G⊂R;R∖G が位相空間 (R,U) におけるコンパクト集合}∪{∅,R}\mathcal{U}^* = \{G \subset \mathbb{R}; \mathbb{R} \setminus G \text{ が位相空間 } (\mathbb{R}, \mathcal{U}) \text{ におけるコンパクト集合} \} \cup \{\emptyset, \mathbb{R}\}

で定める．ただし ∅\emptyset は空集合を表す． このとき以下の問いに答えよ．必要ならばユークリッド空間 (R,U)(\mathbb{R}, \mathcal{U}) におけるコンパクト集合の諸性質を証明なしに用いてよい．

(1) U∗\mathcal{U}^* は開集合系として R\mathbb{R} 上に位相を定めることを示せ．

(2) R\mathbb{R} の部分集合 GG に関する次の命題を示せ．

  • GG が位相空間 (R,U∗)(\mathbb{R}, \mathcal{U}^*) の開集合であるならば GG は位相空間 (R,U)(\mathbb{R}, \mathcal{U}) の開集合である．

また，逆が成立するか否かを理由をつけて述べよ．

(3) 位相空間 (R,U∗)(\mathbb{R}, \mathcal{U}^*) がハウスドルフ空間であるか否かを理由をつけて述べよ．

题目描述​

设 U\mathcal U 为一维 Euclidean 空间 R\mathbb R 上的通常拓扑，并定义 R\mathbb R 的子集族

U∗={G⊂R∣R∖G 在 (R,U) 中是紧集}∪{∅,R},\mathcal U^* =\{G\subset\mathbb R\mid \mathbb R\setminus G\text{ 在 }(\mathbb R,\mathcal U)\text{ 中是紧集}\} \cup\{\varnothing,\mathbb R\},

其中 ∅\varnothing 表示空集。必要时可以不加证明地使用 Euclidean 空间 (R,U)(\mathbb R,\mathcal U) 中紧集的性质。

  1. 证明 U∗\mathcal U^* 作为开集族在 R\mathbb R 上定义了一个拓扑。

  2. 对 R\mathbb R 的子集 GG，证明：

    • 若 GG 是 (R,U∗)(\mathbb R,\mathcal U^*) 的开集，则 GG 也是 (R,U)(\mathbb R,\mathcal U) 的开集。

    并说明该命题的逆命题是否成立，给出理由。

  3. 判断拓扑空间 (R,U∗)(\mathbb R,\mathcal U^*) 是否为 Hausdorff 空间，并说明理由。

考点​

  • 紧补拓扑：利用有限并、任意交下紧集的相应性质验证开集公理。
  • 拓扑强弱比较：证明紧集在 R\mathbb R 中闭，从而比较 U∗\mathcal U^* 与通常拓扑，并构造逆命题的例子或反例。
  • Hausdorff 分离性：分析两个非空紧补开集的交是否可能为空，以判断不同点能否由不交邻域分离。

Kai​

(1)​

(i) ∅,R∈U∗\emptyset, \mathbb{R} \in \mathcal{U}^* は明らか。

(ii) ∀U,V∈U∗\forall U, V \in \mathcal{U}^* に対して、

  • U,VU, V が少なくとも一方が ∅\emptyset 或は R\mathbb{R} のとき、明らかに U∩V∈U∗U \cap V \in \mathcal{U}^*。
  • U,V∈U∗∖{∅,R}U, V \in \mathcal{U}^* \setminus \{\emptyset, \mathbb{R}\} のとき、(U∩V)C=UC∪VC(U \cap V)^C = U^C \cup V^C はコンパクト集合の和なので、コンパクト。従って、U∩V∈U∗U \cap V \in \mathcal{U}^*。

(iii) ∀Uλ∈U∗(λ∈Λ)\forall U_{\lambda} \in \mathcal{U}^* (\lambda \in \Lambda) に対して、

  • ∀λ∈Λ,Uλ=∅⇒⋃λ∈ΛUλ=∅∈U∗\forall \lambda \in \Lambda, U_{\lambda} = \emptyset \Rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = \emptyset \in \mathcal{U^*}
  • ∃λ0∈Λ,Uλ0=R⇒⋃λ∈ΛUλ=R∈U∗\exists \lambda_0 \in \Lambda, U_{\lambda_0} = \mathbb{R} \Rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = \mathbb{R} \in \mathcal{U^*}
  • それ以外のとき、∃Σ⊂Λ,⋃λ∈ΛUλ=⋃λ∈ΣUλ (Uλ∉{∅,R},∀λ∈Σ)\exists \Sigma \subset \Lambda, \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = \bigcup_{\lambda \in \Sigma} U_{\lambda}\ (U_{\lambda} \notin \{\emptyset, \mathbb{R}\}, \forall \lambda \in \Sigma)。(⋃λ∈ΛUλ)C=⋂λ∈ΣUλC\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \right)^C = \bigcap_{\lambda \in \Sigma} U_{\lambda}^C は、UλCU_{\lambda}^C が閉集合なので無限積も閉集合。また、UλCU_{\lambda}^C が有界なので、これも有界であり、コンパクト。従って、⋃λ∈ΛUλ∈U∗\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \in \mathcal{U}^*。

(2)​

G∈U∗G\in\mathcal{U}^* とする。G=∅,RG=\emptyset,\mathbb{R} の場合は明らかである。それ以外なら R∖G\mathbb{R}\setminus G は通常位相でコンパクト、従って閉集合である。その補集合 GG は通常位相で開集合なので、

U∗⊂U\boxed{\mathcal{U}^*\subset\mathcal{U}}

である。

逆は成り立たない。例えば (0,∞)(0,\infty) は通常位相では開集合だが、その補集合 (−∞,0](-\infty,0] は有界でなくコンパクトでないため、(0,∞)∉U∗(0,\infty)\notin\mathcal{U}^* である。

(3)​

U,V∈U∗U,V\in\mathcal{U}^* を非空な開集合とする。もし U∩V=∅U\cap V=\emptyset なら

R=(R∖U)∪(R∖V)\mathbb{R}=(\mathbb{R}\setminus U)\cup(\mathbb{R}\setminus V)

となる。右辺は二つのコンパクト集合の和なのでコンパクトだが、R\mathbb{R} は通常位相でコンパクトでない。これは矛盾である。従って任意の二つの非空開集合は交わり、異なる二点を互いに素な開近傍で分離できない。よって

(R,U∗) は Hausdorff 空間ではない.\boxed{(\mathbb{R},\mathcal{U}^*)\text{ は Hausdorff 空間ではない}}.
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