東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問1

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• TITech
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GPT-5

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複素数体の部分環

を考える。以下の問いに答えよ。

(1) の可逆元をすべて求めよ。

(2) 素数 は

と の二つの非可逆元の積に分解できる。同様に、素数 を二つの非可逆元の積として表せ。

(3) 素数 が の二つの非可逆元の積ならば、ある によって と表せることを示せ。

Kai

(1)

に対し、共役との積

をノルムとする。 であり、 が可逆なら でなければならない。逆にノルム 1 の元は共役を逆元に持つ。

の整数解は だけなので、可逆元は

である。

(2)

なので

両因子のノルムは 13 であり、(1) より非可逆元である。

(3)

とし、 と書く。ノルムの乗法性から

は非零の非可逆元なので、 はともに 1 より大きい正整数である。 は素数だから、積が となる可能性は

だけである。従って

となる。