東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年8月実施 午前 問1

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• TITech
• Quadratic-Integer-Ring

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GPT-5

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複素数体の部分環

$$R=\{x+y\sqrt{-3}\mid x,y\in\mathbb Z\}$$

を考える。以下の問いに答えよ。

(1) $R$ の可逆元をすべて求めよ。

(2) 素数 $7$ は

$$7=(2+\sqrt{-3})(2-\sqrt{-3})$$

と $R$ の二つの非可逆元の積に分解できる。同様に、素数 $13$ を二つの非可逆元の積として表せ。

(3) 素数 $p$ が $R$ の二つの非可逆元の積ならば、ある $x,y\in\mathbb Z$ によって $p=x^2+3y^2$ と表せることを示せ。

题目描述

考虑复数域的子环

$$R=\{x+y\sqrt{-3}\mid x,y\in\mathbb Z\}.$$

1. 求环 $R$ 的全部单位。

2. 素数 $7$ 在 $R$ 中可以分解为两个非单位的乘积

   $$7=(2+\sqrt{-3})(2-\sqrt{-3}).$$

   类似地，把素数 $13$ 表示成 $R$ 中两个非单位的乘积。

3. 证明：若素数 $p$ 能写成 $R$ 中两个非单位的乘积，则存在 $x,y\in\mathbb Z$ 使

   $$p=x^2+3y^2.$$

考点

• 二次整数环的范数：使用 $N(x+y\sqrt{-3})=x^2+3y^2$ 的乘法性刻画单位与非单位。
• 素数在二次整数环中的分解：通过寻找范数等于给定素数的元素构造共轭因子，并由素数性限制任意非平凡分解的范数。

Kai

(1)

$\alpha=x+y\sqrt{-3}$ に対し、共役との積

$$N(\alpha)=\alpha\overline\alpha=x^2+3y^2$$

をノルムとする。$N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ であり、$\alpha$ が可逆なら $N(\alpha)=1$ でなければならない。逆にノルム 1 の元は共役を逆元に持つ。

$$x^2+3y^2=1$$

の整数解は $(x,y)=(1,0),(-1,0)$ だけなので、可逆元は

$$\boxed{1,-1}$$

である。

(2)

$13=1^2+3\cdot2^2$ なので

$$\boxed{13=(1+2\sqrt{-3})(1-2\sqrt{-3})}.$$

両因子のノルムは 13 であり、(1) より非可逆元である。

(3)

$p=\alpha\beta$ とし、$\alpha=x+y\sqrt{-3}$ と書く。ノルムの乗法性から

$$p^2=N(p)=N(\alpha)N(\beta).$$

$\alpha,\beta$ は非零の非可逆元なので、$N(\alpha),N(\beta)$ はともに 1 より大きい正整数である。$p$ は素数だから、積が $p^2$ となる可能性は

$$N(\alpha)=N(\beta)=p$$

だけである。従って

$$\boxed{p=N(\alpha)=x^2+3y^2}$$

となる。