東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問B

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• TITech
• Sequence-Convergence

Author

peter8rabit, 祭音Myyura

Description

数列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ が，

$$a_{n+1} \leq \frac{1}{2} a_n, \ \ a_n \geq 0$$

を満たすとする．

(1) $n \rightarrow \infty$ のとき， $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ は収束することを示せ．

(2) 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ は収束するか．収束するならば証明し，収束しないならば反例をあげよ．

题目描述

已知非负数列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ 满足

$$a_{n+1}\leq\frac12a_n,\qquad a_n\geq0.$$

1. 证明数列 $\{a_n\}$ 在 $n\to\infty$ 时收敛。
2. 判断无穷级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$

是否收敛。若结论为收敛，须给出证明；若不收敛，则须给出反例。

Kai

(1)

• $\forall n, 0 \leq a_n$ より $\{a_n\}$ は下に有界。
• $a_{n+1} - a_n \leq \frac{1}{2}a_n - a_n = -\frac{1}{2}a_n \leq 0$ より、 $\{a_n\}$ は単調減少列。

従って、下に有界な単調減少列は収束する。

(2)

$$a_n \leq \frac{1}{2}a_{n-1} \leq \left ( \frac{1}{2} \right )^2 a_{n-2} \leq \cdots \leq \left ( \frac{1}{2} \right )^n a_0$$

より

$$\sum_{n=0}^{m} a_n \leq \sum_{n=0}^{m} \left( \frac{1}{2} \right)^n a_0 \Rightarrow \sum_{n=0}^{m} a_n \leq 2a_0 \ \ (m \rightarrow \infty)$$

一方、 $0 \leq a_n$ より、 $\sum_{n=0}^{m} a_n$ は $m$ について単調増加。

従って、上に有界な単調増加列は収束する。