東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2017年8月実施午前問B

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数列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ が，

a_{n+1} \leq \frac{1}{2} a_n, \ \ a_n \geq 0

を満たすとする．

(1) $n \rightarrow \infty$ のとき， $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ は収束することを示せ．

(2) 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ は収束するか．収束するならば証明し，収束しないならば反例をあげよ．

$\forall n, 0 \leq a_n$ より $\{a_n\}$ は下に有界。
$a_{n+1} - a_n \leq \frac{1}{2}a_n - a_n = -\frac{1}{2}a_n \leq 0$ より、 $\{a_n\}$ は単調減少列。

従って、下に有界な単調減少列は収束する。

a_n \leq \frac{1}{2}a_{n-1} \leq \left ( \frac{1}{2} \right )^2 a_{n-2} \leq \cdots \leq \left ( \frac{1}{2} \right )^n a_0

より

\sum_{n=0}^{m} a_n \leq \sum_{n=0}^{m} \left( \frac{1}{2} \right)^n a_0 \Rightarrow \sum_{n=0}^{m} a_n \leq 2a_0 \ \ (m \rightarrow \infty)

一方、 $0 \leq a_n$ より、 $\sum_{n=0}^{m} a_n$ は $m$ について単調増加。

従って、上に有界な単調増加列は収束する。