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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問A

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Author​

祭音Myyura with GPT-5

Description​

nn 次元線形ベクトル空間 Rn\mathbb{R}^n から Rn\mathbb{R}^n への写像 TT に対して T(x)=xT(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x} となる x∈Rn\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n は写像 TT の不動点とよばれる． 正整数 kk に対して，TkT^k を TT の kk 回合成写像とする． つまり T1=T,Tk=T∘Tk−1 (k≥2)T^1 = T, T^k = T \circ T^{k-1} \ (k \geq 2)． n=3n = 3 としたとき，以下の行列

A=13(−10−201−2−2−20)\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}

によって定義された写像 T(x)=AxT(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} について答えよ．

(1) A\boldsymbol{A} の固有値をすべて求めよ．

(2) TkT^k のすべての不動点からなる集合は R3\mathbb{R}^3 の線形部分空間になることを示せ．

(3) TT のすべての不動点からなる線形部分空間の次元と基底となるベクトル一組を求めよ．

(4) TkT^k のすべての不動点からなる線形部分空間の次元と基底となるベクトル一組を求めよ．

题目描述​

对从 nn 维实线性空间 Rn\mathbb R^n 到自身的映射 TT，若 x∈Rn\boldsymbol x\in\mathbb R^n 满足 T(x)=xT(\boldsymbol x)=\boldsymbol x，则称 x\boldsymbol x 为 TT 的不动点。对正整数 kk，以 TkT^k 表示 TT 的 kk 次复合，即

T1=T,Tk=T∘Tk−1(k≥2).T^1=T,\qquad T^k=T\circ T^{k-1}\quad(k\geq2).

取 n=3n=3，并令

A=13(−10−201−2−2−20),T(x)=Ax.\boldsymbol A=\frac13 \begin{pmatrix} -1&0&-2\\ 0&1&-2\\ -2&-2&0 \end{pmatrix}, \qquad T(\boldsymbol x)=\boldsymbol A\boldsymbol x.
  1. 求矩阵 A\boldsymbol A 的全部特征值。
  2. 证明 TkT^k 的全部不动点组成的集合是 R3\mathbb R^3 的线性子空间。
  3. 求 TT 的不动点子空间的维数，并给出一组基。
  4. 对正整数 kk，求 TkT^k 的不动点子空间的维数，并给出一组基；结果应体现其对 kk 的依赖。

考点​

  • 特征值与不动点：把 Tk(x)=xT^k(\boldsymbol x)=\boldsymbol x 转化为 (Ak−I)x=0(\boldsymbol A^k-I)\boldsymbol x=0，从而识别其核空间结构。
  • 矩阵幂的谱分析：根据 A\boldsymbol A 的各特征值在 kk 次幂后是否等于 11，分类确定不动点空间。
  • 线性子空间的维数与基：求对应特征空间的零空间基，并在不同 kk 情形下组合。

Kai​

(1)​

B=(−10−201−2−2−20)\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}

とおくと、

det⁡(A−λI)=det⁡(13(B−3λI))=(13)3det⁡(B−3λI)=0\begin{aligned} \det (\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{I}) = \det \left(\frac{1}{3} (\boldsymbol{B} - 3\lambda \boldsymbol{I}) \right) = \left(\frac{1}{3} \right)^3 \det (\boldsymbol{B} - 3\lambda \boldsymbol{I}) = 0 \end{aligned}

より、

det⁡(B−3λI)=∣−1−3λ0−201−3λ−2−2−2−3λ∣=−27λ(λ−1)(λ+1)=0\det(\boldsymbol{B}-3\lambda\boldsymbol{I}) =\left \lvert \begin{matrix} -1-3\lambda & 0 & -2 \\ 0 & 1-3\lambda & -2 \\ -2 & -2 & -3\lambda \end{matrix} \right \rvert =-27\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)=0
∴λ=−1,0,1\therefore \lambda = -1, 0, 1

(2)​

∀α,β,γ∈R,∀x,y∈{z∈R3∣Tk(z)=z}\forall \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}, \forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \{ \boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^3 \mid T^k(\boldsymbol{z}) = \boldsymbol{z} \},

Tk(αx+βy)=Ak(αx+βy)=αAkx+βAky=αTk(x)+βTk(y)=αx+βyTk(γx)=Akγx=γAkx=γTk(x)=γx\begin{aligned} T^k(\alpha \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{y}) &= \boldsymbol{A}^k (\alpha \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{y}) = \alpha \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{y} = \alpha T^k(\boldsymbol{x}) + \beta T^k(\boldsymbol{y}) \\ &= \alpha \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{y} \\ T^{k} (\gamma \boldsymbol{x}) &= \boldsymbol{A}^k \gamma \boldsymbol{x} = \gamma \boldsymbol{A}^k\boldsymbol{x} = \gamma T^k(\boldsymbol{x}) = \gamma \boldsymbol{x} \end{aligned}

よって、TkT^k のすべての不動点からなる集合は R3\mathbb{R}^3 の線形部分空間になる。

(3)​

T(x)=xT(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x} とすると、

(B−3I)x=0(\boldsymbol{B} - 3\boldsymbol{I})\boldsymbol{x} = 0
(−40−20−2−2−2−2−3)(x1x2x3)=0\begin{pmatrix} -4 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0

より、

(x1x2x3)=c(12−2)(c∈R)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \quad (c \in \mathbb{R})

従って、次元 1、基底 (12−2)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}。

(4)​

固有値 1,−1,01,-1,0 は互いに異なるので、対応する固有ベクトルは R3\mathbb{R}^3 の基底をなす。固有値 11 と −1-1 に対して、例えば

u1=(12−2),u−1=(212)\boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{u}_{-1}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}

を取れる。x=αu1+βu−1+γu0\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{u}_1+\beta\boldsymbol{u}_{-1}+\gamma\boldsymbol{u}_0 と展開すると

Akx=αu1+(−1)kβu−1\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{x} =\alpha\boldsymbol{u}_1+(-1)^k\beta\boldsymbol{u}_{-1}

である。したがって Akx=x\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} となるのは、

  • kk が奇数のとき：β=γ=0\beta=\gamma=0。次元 1、基底 {u1}\{\boldsymbol{u}_1\}。
  • kk が偶数のとき：γ=0\gamma=0。次元 2、基底 {u1,u−1}\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_{-1}\}。

すなわち

Fix⁡(Tk)={span⁡{(12−2)},k が奇数,span⁡{(12−2),(212)},k が偶数.\boxed{ \operatorname{Fix}(T^k)= \begin{cases} \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\right\},&k\text{ が奇数},\\[8pt] \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\right\},&k\text{ が偶数}. \end{cases}}
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