東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問A

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祭音Myyura with GPT-5

Description

$n$ 次元線形ベクトル空間 $\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^n$ への写像 $T$ に対して $T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}$ となる $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ は写像 $T$ の不動点とよばれる． 正整数 $k$ に対して， $T^k$ を $T$ の $k$ 回合成写像とする． つまり $T^1 = T, T^k = T \circ T^{k-1} \ (k \geq 2)$ ． $n = 3$ としたとき，以下の行列

$$\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$

によって定義された写像 $T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ について答えよ．

(1) $\boldsymbol{A}$ の固有値をすべて求めよ．

(2) $T^k$ のすべての不動点からなる集合は $\mathbb{R}^3$ の線形部分空間になることを示せ．

(3) $T$ のすべての不動点からなる線形部分空間の次元と基底となるベクトル一組を求めよ．

(4) $T^k$ のすべての不動点からなる線形部分空間の次元と基底となるベクトル一組を求めよ．

题目描述

对于映射 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$，满足 $T(\boldsymbol x)=\boldsymbol x$ 的向量 $\boldsymbol x$ 称为 $T$ 的不动点。若 $k$ 为正整数，记 $T^k$ 为 $T$ 的 $k$ 次复合：

$$T^1=T,\qquad T^k=T\circ T^{k-1}\quad(k\geq2).$$

现在取 $n=3$，以矩阵

$$\boldsymbol A=\frac13 \begin{pmatrix} -1&0&-2\\ 0&1&-2\\ -2&-2&0 \end{pmatrix}$$

定义线性映射 $T(\boldsymbol x)=\boldsymbol A\boldsymbol x$。回答：

1. 求 $\boldsymbol A$ 的所有特征值。
2. 证明 $T^k$ 的不动点全体构成 $\mathbb R^3$ 的一个线性子空间。
3. 求 $T$ 的不动点子空间的维数，并给出该空间的一组基。
4. 对任意正整数 $k$，求 $T^k$ 的不动点子空间的维数及一组基。

Kai

(1)

$$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \det (\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{I}) = \det \left(\frac{1}{3} (\boldsymbol{B} - 3\lambda \boldsymbol{I}) \right) = \left(\frac{1}{3} \right)^3 \det (\boldsymbol{B} - 3\lambda \boldsymbol{I}) = 0 \end{aligned}$$

より、

$$\det(\boldsymbol{B}-3\lambda\boldsymbol{I}) =\left \lvert \begin{matrix} -1-3\lambda & 0 & -2 \\ 0 & 1-3\lambda & -2 \\ -2 & -2 & -3\lambda \end{matrix} \right \rvert =-27\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)=0$$

$$\therefore \lambda = -1, 0, 1$$

(2)

$\forall \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}, \forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \{ \boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^3 \mid T^k(\boldsymbol{z}) = \boldsymbol{z} \}$ ,

$$\begin{aligned} T^k(\alpha \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{y}) &= \boldsymbol{A}^k (\alpha \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{y}) = \alpha \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{y} = \alpha T^k(\boldsymbol{x}) + \beta T^k(\boldsymbol{y}) \\ &= \alpha \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{y} \\ T^{k} (\gamma \boldsymbol{x}) &= \boldsymbol{A}^k \gamma \boldsymbol{x} = \gamma \boldsymbol{A}^k\boldsymbol{x} = \gamma T^k(\boldsymbol{x}) = \gamma \boldsymbol{x} \end{aligned}$$

よって、 $T^k$ のすべての不動点からなる集合は $\mathbb{R}^3$ の線形部分空間になる。

(3)

$T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}$ とすると、

$$(\boldsymbol{B} - 3\boldsymbol{I})\boldsymbol{x} = 0$$

$$\begin{pmatrix} -4 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$

より、

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \quad (c \in \mathbb{R})$$

従って、次元 1、基底 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ 。

(4)

固有値 $1,-1,0$ は互いに異なるので、対応する固有ベクトルは $\mathbb{R}^3$ の基底をなす。固有値 $1$ と $-1$ に対して、例えば

$$\boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{u}_{-1}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$$

を取れる。 $\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{u}_1+\beta\boldsymbol{u}_{-1}+\gamma\boldsymbol{u}_0$ と展開すると

$$\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{x} =\alpha\boldsymbol{u}_1+(-1)^k\beta\boldsymbol{u}_{-1}$$

である。したがって $\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$ となるのは、

• $k$ が奇数のとき： $\beta=\gamma=0$ 。次元 1、基底 $\{\boldsymbol{u}_1\}$ 。
• $k$ が偶数のとき： $\gamma=0$ 。次元 2、基底 $\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_{-1}\}$ 。

すなわち

$$\boxed{ \operatorname{Fix}(T^k)= \begin{cases} \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\right\},&k\text{ が奇数},\\[8pt] \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\right\},&k\text{ が偶数}. \end{cases}}$$