東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問6

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• TITech
• Maximum-Likelihood-Estimation
• Exponential-Distribution

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GPT-5

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とし、 上の確率密度を

とする。 は互いに独立に に従う。対数尤度

を最大にする を とする。

(1) を で表せ。

(2) と に対し、 を求めよ。

(3) の期待値と分散を求めよ。

(4) のとき、 を示せ。

Kai

(1)

とおくと

したがって

を解いて

より で である。またこの点で なので一意な最大点である。

(2)

を で微分すれば

さらにもう一度微分して

(3)

とする。変数変換 により、一般に なら

すなわち は平均 、分散 の指数分布に従う。本問では で、 だから

(4)

Cauchy-Schwarz の不等式より

なので右辺は 0 に収束する。従って所望の期待値も 0 に収束する。