東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問5

标签：

• TITech
• Uniform-Distribution

Author

peter8rabit, GPT-5

Description

以下，$P$ は確率，$E$ は期待値を表すものとする．

(1) 非負整数値をとる確率変数 $N$ に対して，$E[N] = \sum_{n=0}^{\infty}P(N > n)$ が成り立つことを示せ．

$X_1, X_2, \ldots$ を互いに独立に $[0, 1]$ 上の一様分布にしたがう確率変数の列とする．

(2) $a$ を実数として，$P(X_1 + X_2 \leq a)$ を $a$ を用いて表せ．

(3) $a \in [0,1]$ のとき，正整数 $n$ に対して $P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq a) = \frac{a^n}{n!}$ が成り立つことを示せ．

(4) 確率変数 $N$ を $N = \min \left\{ n \geq 1 \mid \sum_{i=1}^n X_i > 1 \right\}$ により定める．$E[N]$ を求めよ．

题目描述

以下用 $P$ 表示概率，用 $E$ 表示期望。

1. 对取非负整数值的随机变量 $N$，证明尾和公式

   $$E[N]=\sum_{n=0}^{\infty}P(N>n).$$

设随机变量序列 $X_1,X_2,\ldots$ 相互独立，且均服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布。

2. 对任意实数 $a$，用 $a$ 分段表示 $P(X_1+X_2\leq a)$。

3. 当 $a\in[0,1]$ 时，证明对任意正整数 $n$ 都有

   $$P(X_1+X_2+\cdots+X_n\leq a)=\frac{a^n}{n!}.$$

4. 定义

   $$N=\min\left\{n\geq1\ \middle|\ \sum_{i=1}^nX_i>1\right\}.$$

   求 $E[N]$。

考点

• 非负整数随机变量的尾和公式：交换非负级数的求和次序，把期望写成尾概率之和。
• 独立均匀分布之和：通过单位正方形中的面积及 $n$ 维单纯形体积计算给定范围内的累积分布。
• 首次越界时刻：把事件 $N>n$ 转化为前 $n$ 项和不超过 $1$，再用尾和公式求期望。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} E[N] &= \sum_{n=0}^{\infty} n P(N = n) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^n P(N = n) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} P(N=n) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} P(N \geq k) = \sum_{k=0}^{\infty} P(N > k) \end{aligned}$$

(2)

$$P(X_1+X_2\leq a) =\operatorname{Area}\{(x,y)\in[0,1]^2:x+y\leq a\} =\begin{cases} 0,&a\leq0,\\[2pt] \dfrac{a^2}{2},&0<a\leq1,\\[6pt] 1-\dfrac{(2-a)^2}{2},&1<a\leq2,\\[6pt] 1,&a>2. \end{cases}$$

$0<a\leq1$ では一辺 $a$ の直角三角形の面積、$1<a\leq2$ では単位正方形から一辺 $2-a$ の右上の直角三角形を除いた面積である。

(3)

$n$ に関する帰納法で示す。

$n=1$ のときは自明

$P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq a) = \frac{a^n}{n!}$ が成り立つことを仮定すると、

$$\begin{aligned} P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n + X_{n+1} \leq a) &= \int_{0}^1 P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n + y \leq a) f(y) dy \\ &= \int_0^a \frac{(a-y)^n}{n!} dy = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \end{aligned}$$

より、$n+1$ でも成立。

(4)

$$\begin{aligned} E(N) &= \sum_{n=0}^{\infty} P(N > n) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq 1) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \\ &= e \end{aligned}$$