東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2017年8月実施午前問5

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以下， $P$ は確率， $E$ は期待値を表すものとする．

(1) 非負整数値をとる確率変数 $N$ に対して， $E[N] = \sum_{n=0}^{\infty}P(N > n)$ が成り立つことを示せ．

$X_1, X_2, \ldots$ を互いに独立に $[0, 1]$ 上の一様分布にしたがう確率変数の列とする．

(2) $a$ を実数として， $P(X_1 + X_2 \leq a)$ を $a$ を用いて表せ．

(3) $a \in [0,1]$ のとき，正整数 $n$ に対して $P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq a) = \frac{a^n}{n!}$ が成り立つことを示せ．

(4) 確率変数 $N$ を $N = \min \left\{ n \geq 1 \mid \sum_{i=1}^n X_i > 1 \right\}$ により定める． $E[N]$ を求めよ．

以下以 $P$ 和 $E$ 分别表示概率与期望。

E[N]=\sum_{n=0}^{\infty}P(N>n).

此后令 $X_1,X_2,\ldots$ 相互独立，并且每个随机变量都服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。

P(X_1+X_2+\cdots+X_n\leq a)=\frac{a^n}{n!}.

N=\min\left\{n\geq1\ \middle|\ \sum_{i=1}^nX_i>1\right\}.

求 $E[N]$ 。

\begin{aligned} E[N] &= \sum_{n=0}^{\infty} n P(N = n) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^n P(N = n) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} P(N=n) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} P(N \geq k) = \sum_{k=0}^{\infty} P(N > k) \end{aligned}

P(X_1+X_2\leq a) =\operatorname{Area}\{(x,y)\in[0,1]^2:x+y\leq a\} =\begin{cases} 0,&a\leq0,\\[2pt] \dfrac{a^2}{2},&0<a\leq1,\\[6pt] 1-\dfrac{(2-a)^2}{2},&1<a\leq2,\\[6pt] 1,&a>2. \end{cases}

$0<a\leq1$ では一辺 $a$ の直角三角形の面積、 $1<a\leq2$ では単位正方形から一辺 $2-a$ の右上の直角三角形を除いた面積である。

$n$ に関する帰納法で示す。

$n=1$ のときは自明

$P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq a) = \frac{a^n}{n!}$ が成り立つことを仮定すると、

\begin{aligned} P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n + X_{n+1} \leq a) &= \int_{0}^1 P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n + y \leq a) f(y) dy \\ &= \int_0^a \frac{(a-y)^n}{n!} dy = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \end{aligned}

より、 $n+1$ でも成立。

\begin{aligned} E(N) &= \sum_{n=0}^{\infty} P(N > n) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq 1) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \\ &= e \end{aligned}