東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2017年8月実施午前問3

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$[0, \infty) \times (-\infty, \infty)$ で定義された $C^2$ 級の関数 $u(t, x)$ が，

\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + x,

u(0,x) = x, \quad \frac{\partial u}{\partial t} (0, x) = 0

を満たすとする．

(1) $v = u + \frac{1}{6}x^3$ とおく． $v$ の満たす偏微分方程式を求めよ．

(2) $u$ を求めよ．

\frac{\partial^2v}{\partial t^2} = \frac{\partial^2v}{\partial x^2}, \quad v(0,x) = \frac{1}{6}x^3 + x, \quad \frac{\partial v}{\partial t}(0,x) = 0

ダランベールの解法より、

v(t,x) = \frac{1}{2} (v(0, x+t) + v(0, x-t)) + \frac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} \frac{\partial v}{\partial t} (0,x) dx \\

より

\begin{aligned} v(t,x) &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6}(x+t)^3 + (x+t) + \frac{1}{6}(x-t)^3 + (x-t) \right) \\ &= \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{2} xt^2 + x \\ \therefore u(t,x) &= v(t,x) - \frac{1}{6}x^3 = \frac{1}{2}xt^2 + x \end{aligned}