東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問3

标签：

• TITech
• Wave-Equation

Author

peter8rabit

Description

$[0, \infty) \times (-\infty, \infty)$ で定義された $C^2$ 級の関数 $u(t, x)$ が，

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + x,$$

$$u(0,x) = x, \quad \frac{\partial u}{\partial t} (0, x) = 0$$

を満たすとする．

(1) $v = u + \frac{1}{6}x^3$ とおく．$v$ の満たす偏微分方程式を求めよ．

(2) $u$ を求めよ．

题目描述

设 $u(t,x)$ 是定义在 $[0,\infty)\times(-\infty,\infty)$ 上的 $C^2$ 级函数，并满足

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+x,$$

以及初始条件

$$u(0,x)=x,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=0.$$

1. 令 $v=u+\frac16x^3$，求 $v$ 所满足的偏微分方程及相应初始数据。
2. 求函数 $u(t,x)$。

考点

• 非齐次波动方程的化简：选取关于 $x$ 的特解消去源项 $x$，把原方程转化为齐次波动方程。
• 波动方程初值问题：对变换后的初始位移与初始速度应用 d’Alembert 公式，再还原得到 $u$。

Kai

(1)

$$\frac{\partial^2v}{\partial t^2} = \frac{\partial^2v}{\partial x^2}, \quad v(0,x) = \frac{1}{6}x^3 + x, \quad \frac{\partial v}{\partial t}(0,x) = 0$$

(2)

ダランベールの解法より、

$$v(t,x) = \frac{1}{2} (v(0, x+t) + v(0, x-t)) + \frac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} \frac{\partial v}{\partial t} (0,x) dx \\$$

より

$$\begin{aligned} v(t,x) &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6}(x+t)^3 + (x+t) + \frac{1}{6}(x-t)^3 + (x-t) \right) \\ &= \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{2} xt^2 + x \\ \therefore u(t,x) &= v(t,x) - \frac{1}{6}x^3 = \frac{1}{2}xt^2 + x \end{aligned}$$