東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問2

标签：

• TITech
• Hausdorff-Space

Author

peter8rabit

Description

単位円 $S^1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2; x^2 + y^2=1\}$ の部分集合族

$$\mathcal{O} = \{U \subset S^1; S^1 \text{ における } U \text{ の補集合は有限集合} \} \cup \{\emptyset, S^1\}$$

について，以下の問に答えよ．ただし，$\emptyset$ は空集合を表す．

(1) $\mathcal{O}$ は $S^1$ の位相を定めることを示せ．

(2) $(S^1, \mathcal{O})$ はハウスドルフ空間か否かを理由をつけて述べよ．

(3) $(S^1, \mathcal{O})$ は連結か否かを理由をつけて述べよ．

(4) $(S^1, \mathcal{O})$ はコンパクトか否かを理由をつけて述べよ．

题目描述

设单位圆

$$S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\},$$

并定义其子集族

$$\mathcal O= \{U\subset S^1\mid U\text{ 在 }S^1\text{ 中的补集是有限集}\} \cup\{\varnothing,S^1\},$$

其中 $\varnothing$ 表示空集。回答：

1. 证明 $\mathcal O$ 确实定义了 $S^1$ 上的一个拓扑。
2. 说明拓扑空间 $(S^1,\mathcal O)$ 是否为 Hausdorff 空间，并给出理由。
3. 说明 $(S^1,\mathcal O)$ 是否连通，并给出理由。
4. 说明 $(S^1,\mathcal O)$ 是否紧致，并给出理由。

考点

• 余有限拓扑：验证给定开集族满足拓扑公理，并利用非空开集的补集有限这一结构。
• 分离性与连通性：分析无限集合上任意两个非空余有限开集必相交的性质，判断 Hausdorff 性及是否存在分离。
• 紧致性：从任意开覆盖中选取一个非空开集，再处理其有限补集以构造有限子覆盖。

Kai

(1)

$\emptyset, S^1 \in \mathcal{O}$ は明らか。

$\forall U, V \in \mathcal{O}$ に対して、

• $U, V$ の少なくとも一方が $\emptyset, S^1$ の時は明らかに $U \cap V \in \mathcal{O}$
• $U,V \ (\neq \emptyset, S^1)$ のとき、$(U \cap V)^C = U^C \cup V^C$ は有限集合なので、$U \cap V \in \mathcal{O}$

$\forall O_{\lambda} \in \mathcal{O} \ (\lambda \in \Lambda)$ に対して、

$$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} = \begin{cases} \emptyset \quad \ \ \text{if }\ \forall \lambda \in \Lambda, O_{\lambda} = \emptyset \\ S^1 \quad \text{if } \ \exists \lambda \in \Lambda, O_{\lambda} = S^1 \\ \text{otherwise} \end{cases}$$

それ以外の場合は、

$$\exists \Sigma \subset \Lambda, \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} = \bigcup_{\lambda \in \Sigma} O_{\lambda} \ (O_{\lambda} \neq \emptyset, \lambda \in \Sigma)$$

すると、$\forall \lambda \in \Sigma, (O_{\lambda})^C$ は有限集合なので、

$$\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \right)^C = \bigcap_{\lambda \in \Sigma} O_{\lambda}^C$$

も有限集合。従って、全ての場合で、$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathcal{O}$。

(2)

$\forall U, V \in \mathcal{O} \ (\neq \emptyset, S^1)$ に対して、 $U \cap V = \emptyset$ と仮定すると、$U^C \cup V^C = S^1$ となり濃度に関して矛盾。 従って、お互いに素な開集合が異なる二元を分離するように取れないので、ハウスドルフ空間ではない。

(3)

互いに素な非空な開集合で分離できないので、非連結の定義を満たさないので、連結。

(4)

任意の $S^1$ の被覆 $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda}$ に対して、

$\exists \lambda_0 \in \Lambda, (1,0) \in O_{\lambda_0} \ (O_{\lambda_0} \neq S^1$ としても一般性を失わない $)$

$\exists x_1, x_2, \ldots, x_n \in S^1 \text{ s.t. } x_i \neq (1,0) \text{ and } O_{\lambda_0}^C = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

$x_1, x_2, \ldots, x_n \in$ 被覆より、$\exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \Lambda \text{ s.t. } x_1 \in O_{\lambda_1}, \ldots, x_n \in O_{\lambda_n}$

従って、$S^1 = \bigcup_{i=0}^n O_{\lambda_i}$ となりコンパクト。