東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問2

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peter8rabit

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単位円 の部分集合族

について，以下の問に答えよ．ただし， は空集合を表す．

(1) は の位相を定めることを示せ．

(2) はハウスドルフ空間か否かを理由をつけて述べよ．

(3) は連結か否かを理由をつけて述べよ．

(4) はコンパクトか否かを理由をつけて述べよ．

Kai

(1)

は明らか。

に対して、

• の少なくとも一方が の時は明らかに
• のとき、 は有限集合なので、

に対して、

それ以外の場合は、

すると、 は有限集合なので、

も有限集合。従って、全ての場合で、。

(2)

に対して、 と仮定すると、 となり濃度に関して矛盾。 従って、お互いに素な開集合が異なる二元を分離するように取れないので、ハウスドルフ空間ではない。

(3)

互いに素な非空な開集合で分離できないので、非連結の定義を満たさないので、連結。

(4)

任意の の被覆 に対して、

としても一般性を失わない

被覆より、

従って、 となりコンパクト。