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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問1

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GPT-5

Description​

複素数体 C\mathbb C の部分環

R={a+bi∣a,b∈Z},i2=−1R=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb Z\},\qquad i^2=-1

を考える。

(1) RR のイデアル I=(2+i)I=(2+i) と J=(5)J=(5) に対し、I⊃JI\supset J が成り立つか判定せよ。

(2) 商環 R/IR/I において x=[1−i]x=[1-i] の乗法逆元 x−1x^{-1} を求めよ。

(3) 商環の乗法群 G=(R/I)∗G=(R/I)^* が巡回群か判定せよ。巡回群なら、その位数と生成元を求めよ。

题目描述​

考虑复数域 C\mathbb C 的子环（Gaussian 整数环）

R={a+bi∣a,b∈Z},i2=−1.R=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb Z\},\qquad i^2=-1.
  1. 对 RR 的理想 I=(2+i)I=(2+i) 和 J=(5)J=(5)，判断包含关系 I⊃JI\supset J 是否成立。
  2. 在商环 R/IR/I 中，求元素 x=[1−i]x=[1-i] 的乘法逆元 x−1x^{-1}。
  3. 判断商环的单位群 G=(R/I)∗G=(R/I)^* 是否为循环群；若是，求该群的阶并给出一个生成元。

考点​

  • Gaussian 整数中的主理想：通过整除关系或范数判断 (5)(5) 是否包含于 (2+i)(2+i)。
  • 商环运算：在模理想 (2+i)(2+i) 的同余关系下求指定剩余类的乘法逆元。
  • 有限单位群：确定 (R/I)∗(R/I)^* 的元素与阶，并通过元素阶判断其是否循环及寻找生成元。

Kai​

(1)​

Gaussian 整数において

5=(2+i)(2−i)5=(2+i)(2-i)

である。したがって 5∈(2+i)5\in(2+i) であり、55 の任意の倍数も (2+i)(2+i) に属するから

(5)⊂(2+i).(5)\subset(2+i).

一方、2+i2+i は 5 の倍数ではないので包含は真に狭い。よって

I⊃J は真である.\boxed{I\supset J\text{ は真である}}.

(2)​

直接計算すると

2(1−i)−1=1−2i=−i(2+i)∈I.2(1-i)-1=1-2i=-i(2+i)\in I.

したがって商環では [2][1−i]=[1][2][1-i]=[1] であり、

x−1=[2].\boxed{x^{-1}=[2]}.

(3)​

N(2+i)=22+12=5N(2+i)=2^2+1^2=5 なので、R/(2+i)R/(2+i) は 5 元体である。実際、2+i=02+i=0 より i=−2≡3(mod5)i=-2\equiv3\pmod5 とみなせるため

R/(2+i)≅F5.R/(2+i)\cong\mathbb F_5.

従って乗法群は位数 4 である。x=[1−i]x=[1-i] は F5\mathbb F_5 では 1−3≡31-3\equiv3 に対応し、

x2=[−1]≠[1],x4=[1]x^2=[-1]\neq[1], \qquad x^4=[1]

なので位数 4 を持つ。よって

G は位数 4 の巡回群であり、生成元の一つは [1−i].\boxed{G\text{ は位数 }4\text{ の巡回群であり、生成元の一つは }[1-i]}.
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