東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問1

标签：

• TITech
• Gaussian-Integers
• Quotient-Ring
• Finite-Group

Author

GPT-5

Description

複素数体 の部分環

を考える。

(1) のイデアル と に対し、 が成り立つか判定せよ。

(2) 商環 において の乗法逆元 を求めよ。

(3) 商環の乗法群 が巡回群か判定せよ。巡回群なら、その位数と生成元を求めよ。

Kai

(1)

Gaussian 整数において

である。したがって であり、 の任意の倍数も に属するから

一方、 は 5 の倍数ではないので包含は真に狭い。よって

(2)

直接計算すると

したがって商環では であり、

(3)

なので、 は 5 元体である。実際、 より とみなせるため

従って乗法群は位数 4 である。 は では に対応し、

なので位数 4 を持つ。よって