東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問B

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• Limit
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GPT-5

Description

Let $f$ be a real-valued continuous function on $[0,\infty)$ such that $\lim_{x\to\infty}f(x)=A\in\mathbb{R}$ .

(1) Show that $f$ is bounded on $[0,\infty)$ .

(2) Find $\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx$ .

(3) Find $\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1a\int_0^a f(x)\,dx$ .

题目描述

设实值函数 $f$ 在区间 $[0,\infty)$ 上连续，而且

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=A\in\mathbb R.$$

1. 证明 $f$ 在整个 $[0,\infty)$ 上有界。
2. 计算

$$\lim_{a\to\infty}\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx.$$

3. 计算

$$\lim_{a\to\infty}\frac1a\int_0^a f(x)\,dx.$$

Kai

(1)

$f(x)\to A$ より、ある $R>0$ が存在して $x\geq R$ なら $|f(x)-A|<1$ 、したがって $|f(x)|<|A|+1$ となる。一方、連続関数 $f$ はコンパクト区間 $[0,R]$ 上で有界である。ゆえに両者の上界の大きい方を取れば、 $f$ は $[0,\infty)$ 上で有界である。

(2)

$|f(x)|\leq M$ とする。このとき

$$\left|\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx\right| \leq\frac1{a^2}\int_0^a|f(x)|\,dx \leq\frac{M}{a}\longrightarrow0.$$

したがって

$$\boxed{\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx=0}.$$

(3)

任意の $\varepsilon>0$ に対し、 $x\geq R$ なら $|f(x)-A|<\varepsilon/2$ となる $R$ を取る。 $C=\int_0^R|f(x)-A|\,dx$ とおけば、 $a\geq R$ に対して

$$\begin{aligned} \left|\frac1a\int_0^a f(x)\,dx-A\right| &\leq\frac1a\int_0^a|f(x)-A|\,dx\\ &\leq\frac{C}{a}+\frac{a-R}{a}\frac{\varepsilon}{2}. \end{aligned}$$

十分大きい $a$ では $C/a<\varepsilon/2$ なので、右辺は $\varepsilon$ 未満である。よって

$$\boxed{\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1a\int_0^a f(x)\,dx=A}.$$