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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問B

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GPT-5

Description​

Let ff be a real-valued continuous function on [0,∞)[0,\infty) such that lim⁡x→∞f(x)=A∈R\lim_{x\to\infty}f(x)=A\in\mathbb{R}.

(1) Show that ff is bounded on [0,∞)[0,\infty).

(2) Find lim⁡a→∞1a2∫0af(x) dx\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx.

(3) Find lim⁡a→∞1a∫0af(x) dx\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1a\int_0^a f(x)\,dx.

题目描述​

设 ff 是定义在 [0,∞)[0,\infty) 上的实值连续函数，并满足

lim⁡x→∞f(x)=A∈R.\lim_{x\to\infty}f(x)=A\in\mathbb R.

  1. 证明 ff 在 [0,∞)[0,\infty) 上有界。

  2. 求极限

    lim⁡a→∞1a2∫0af(x) dx.\lim_{a\to\infty}\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx.

  3. 求极限

    lim⁡a→∞1a∫0af(x) dx.\lim_{a\to\infty}\frac1a\int_0^a f(x)\,dx.

考点​

  • 无穷远处极限与整体有界性：把尾部的极限控制和连续函数在紧区间上的有界性结合起来。
  • 定积分平均值的极限：估计积分增长阶，并证明函数在扩张区间上的 Cesàro 平均收敛到 AA。

Kai​

(1)​

f(x)→Af(x)\to A より、ある R>0R>0 が存在して x≥Rx\geq R なら ∣f(x)−A∣<1|f(x)-A|<1、したがって ∣f(x)∣<∣A∣+1|f(x)|<|A|+1 となる。一方、連続関数 ff はコンパクト区間 [0,R][0,R] 上で有界である。ゆえに両者の上界の大きい方を取れば、ff は [0,∞)[0,\infty) 上で有界である。

(2)​

∣f(x)∣≤M|f(x)|\leq M とする。このとき

∣1a2∫0af(x) dx∣≤1a2∫0a∣f(x)∣ dx≤Ma⟶0.\left|\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx\right| \leq\frac1{a^2}\int_0^a|f(x)|\,dx \leq\frac{M}{a}\longrightarrow0.

したがって

lim⁡a→∞1a2∫0af(x) dx=0.\boxed{\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1{a^2}\int_0^a f(x)\,dx=0}.

(3)​

任意の ε>0\varepsilon>0 に対し、x≥Rx\geq R なら ∣f(x)−A∣<ε/2|f(x)-A|<\varepsilon/2 となる RR を取る。C=∫0R∣f(x)−A∣ dxC=\int_0^R|f(x)-A|\,dx とおけば、a≥Ra\geq R に対して

∣1a∫0af(x) dx−A∣≤1a∫0a∣f(x)−A∣ dx≤Ca+a−Raε2.\begin{aligned} \left|\frac1a\int_0^a f(x)\,dx-A\right| &\leq\frac1a\int_0^a|f(x)-A|\,dx\\ &\leq\frac{C}{a}+\frac{a-R}{a}\frac{\varepsilon}{2}. \end{aligned}

十分大きい aa では C/a<ε/2C/a<\varepsilon/2 なので、右辺は ε\varepsilon 未満である。よって

lim⁡a→∞1a∫0af(x) dx=A.\boxed{\displaystyle\lim_{a\to\infty}\frac1a\int_0^a f(x)\,dx=A}.
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