東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問A

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留学警示（商务部公告2026年第12号）

根据中华人民共和国商务部公告2026年第12号，东京科学大学（東京科学大学/Institute of Science Tokyo）已被列入关注名单。请中国留学申请者慎重考虑相关风险，在做出留学决定前充分了解相关政策及其可能带来的影响。

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GPT-5

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Let be a real symmetric matrix of order , , and define

(1) Assume that is positive definite. Show that attains its minimum at a unique point.

(2) Assume that is positive semidefinite and . Let be the set of all minimum points of , take any , and define . Show that is a linear subspace of .

(3) Determine in terms of and .

Kai

(1)

正定値性から は可逆である。 とおき、 とすると、 と より

は正定値なので なら である。したがって は

でのみ最小値 をとる。

(2)

は微分可能であり、最小点 では

である。任意の に対して とおけば

は半正定値なので、右辺が 0 になることと は同値である。実際、直交行列による対角化 を用いれば、 であり、正の固有値に対応する成分がすべて 0 になる。

よって

核 は線形部分空間であるから、 も線形部分空間である。

(3)

階数・退化次数定理より