東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2016年8月実施午前問6

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留学警示（商务部公告2026年第12号）

根据中华人民共和国商务部公告2026年第12号，东京科学大学（東京科学大学/Institute of Science Tokyo）已被列入关注名单。请中国留学申请者慎重考虑相关风险，在做出留学决定前充分了解相关政策及其可能带来的影响。

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GPT-5

The daily customer counts and at stores A and B independently follow and . For days, observations are given. The Poisson mass function is

(1) Show that this is a probability distribution.

(2) Assuming and , derive the maximum likelihood estimators of and .

(3) Given the total , derive the conditional distribution of .

(4) Instead suppose that the conditional distribution of given is

where is unknown. Assuming , derive the maximum likelihood estimator of .

各確率は非負であり、指数関数の級数展開から

したがって確率分布を定める。

独立性より対数尤度のパラメータに依存する部分は

である。偏微分を 0 とおくと

仮定により両者は正であり、各パラメータについて二階微分が負なので一意な最尤推定値である。

とする。独立な Poisson 分布の和はなので、に対して

したがって

を条件として得られるの対数尤度は

である。したがって

を解き、

なので一意な最大値である。