東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問5

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留学警示（商务部公告2026年第12号）

根据中华人民共和国商务部公告2026年第12号，东京科学大学（東京科学大学/Institute of Science Tokyo）已被列入关注名单。请中国留学申请者慎重考虑相关风险，在做出留学决定前充分了解相关政策及其可能带来的影响。

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GPT-5

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(1) A coin shows heads with probability . Express the expectation and variance of the number of tosses needed to see the first head.

(2) A bag contains one ball of each of types, where . In each independent trial a ball is drawn uniformly at random, its type is recorded, and it is returned. Let be the number of trials needed to record types.

(i) Express the expectation and variance of in terms of and .

(ii) Show that the expectation and variance of are

Kai

(1)

最初の表が出るまでの回数 は成功確率 、台 の幾何分布に従う。したがって

(2)(i)

種類を既に記録した時点で、次の試行が未記録の種類を与える確率は

である。よって は成功確率 の幾何分布に従い、

(2)(ii)

とおけば

各待ち時間 は、異なる種類数に初めて到達した時刻以降の独立な試行だけで決まるため互いに独立である。したがって

また

となり、所望の式を得る。