東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2016年8月実施午前問3

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GPT-5

Let $C[0,1]$ be the vector space of continuous functions on $[0,1]$ , and define

\|u\|=\max_{0\leq x\leq1}|u(x)|.

(1) Show that $\|\cdot\|$ is a norm on $C[0,1]$ . Hereafter let $X$ denote $C[0,1]$ equipped with this norm.

(2) Let $P$ be the set of polynomials. Show that $P$ is a subspace of $X$ .

(3) For each natural number $n$ , let

u_n(x)=1+\frac{x}{2}+\left(\frac{x}{2}\right)^2+\cdots+ \left(\frac{x}{2}\right)^{n-1}.

Show that $u_n$ converges in $X$ as $n\to\infty$ .

(4) Show that $u_n$ does not converge in $P$ as $n\to\infty$ .

设 $C[0,1]$ 为区间 $[0,1]$ 上全体连续函数组成的向量空间，并定义

\|u\|=\max_{0\leq x\leq1}|u(x)|.

证明 $\|\cdot\|$ 是 $C[0,1]$ 上的范数。此后记配备该范数的空间为 $X$ 。
设 $P$ 为全体多项式组成的集合，证明 $P$ 是 $X$ 的线性子空间。
对每个自然数 $n$ ，令

$u_n(x)=1+\frac{x}{2}+\left(\frac{x}{2}\right)^2+\cdots+ \left(\frac{x}{2}\right)^{n-1}.$

证明当 $n\to\infty$ 时， $u_n$ 在 $X$ 中收敛。
证明当 $n\to\infty$ 时， $u_n$ 在子空间 $P$ 中不收敛。

連続性と区間 $[0,1]$ のコンパクト性により最大値は存在する。任意の $u,v\in C[0,1]$ とスカラー $\alpha$ について

\|u\|\geq0, \qquad \|u\|=0\Longleftrightarrow u=0,

\|\alpha u\|=|\alpha|\|u\|, \qquad \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|

が成り立つ。最後の不等式は各 $x$ での三角不等式を最大化すれば得られる。よって $\|\cdot\|$ はノルムである。

零多項式は $P$ に属し、多項式 $p,q$ とスカラー $\alpha,\beta$ に対して $\alpha p+\beta q$ も多項式である。また多項式は $[0,1]$ 上連続なので $P\subset X$ である。したがって $P$ は $X$ の線形部分空間である。

等比級数より

u_n(x)=\frac{1-(x/2)^n}{1-x/2}

である。 $u(x)=1/(1-x/2)$ とおくと

\begin{aligned} \|u_n-u\| &=\max_{0\leq x\leq1}\frac{(x/2)^n}{1-x/2}\\ &=\frac{(1/2)^n}{1-1/2}=2^{1-n}\longrightarrow0. \end{aligned}

よって $u_n$ は $X$ において $u$ に収束する。

$P$ が $X$ から受け継ぐ同じノルムで $u_n$ がある $p\in P$ に収束すると仮定する。 $X$ における極限の一意性により

p(x)=\frac1{1-x/2}

でなければならない。しかし多項式 $p$ がこの恒等式を満たすなら $(1-x/2)p(x)=1$ となる。非零多項式の次数を比較すると左辺は $\deg p+1$ 、右辺は 0 であり矛盾する。ゆえに $u_n$ は $P$ では収束しない。