東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問3

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留学警示（商务部公告2026年第12号）

根据中华人民共和国商务部公告2026年第12号，东京科学大学（東京科学大学/Institute of Science Tokyo）已被列入关注名单。请中国留学申请者慎重考虑相关风险，在做出留学决定前充分了解相关政策及其可能带来的影响。

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GPT-5

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Let be the vector space of continuous functions on , and define

(1) Show that is a norm on . Hereafter let denote equipped with this norm.

(2) Let be the set of polynomials. Show that is a subspace of .

(3) For each natural number , let

Show that converges in as .

(4) Show that does not converge in as .

Kai

(1)

連続性と区間 のコンパクト性により最大値は存在する。任意の とスカラー について

が成り立つ。最後の不等式は各 での三角不等式を最大化すれば得られる。よって はノルムである。

(2)

零多項式は に属し、多項式 とスカラー に対して も多項式である。また多項式は 上連続なので である。したがって は の線形部分空間である。

(3)

等比級数より

である。 とおくと

よって は において に収束する。

(4)

が から受け継ぐ同じノルムで がある に収束すると仮定する。 における極限の一意性により

でなければならない。しかし多項式 がこの恒等式を満たすなら となる。非零多項式の次数を比較すると左辺は 、右辺は 0 であり矛盾する。ゆえに は では収束しない。