東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問2

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• TITech
• Hausdorff-Space

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GPT-5

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For $S=\{a,b,c,d\}$, consider

$$\mathcal O=\{\varnothing,\{a\},\{c\},\{a,c\},\{b,c,d\},S\}.$$

(1) Show that $\mathcal O$ is a topology on $S$.

(2) Find the closure of $\{b\}$ in $(S,\mathcal O)$.

(3) Determine whether $(S,\mathcal O)$ is Hausdorff.

题目描述

令 $S=\{a,b,c,d\}$，并给定集合族

$$\mathcal O=\{\varnothing,\{a\},\{c\},\{a,c\},\{b,c,d\},S\}.$$

回答下列问题：

1. 证明 $\mathcal O$ 是 $S$ 上的一个拓扑。
2. 求子集 $\{b\}$ 在拓扑空间 $(S,\mathcal O)$ 中的闭包。
3. 判断 $(S,\mathcal O)$ 是否为 Hausdorff 空间。

考点

• 拓扑公理的验证：检查给定有限集合族是否包含空集与全集，并验证任意并和有限交的封闭性。
• 闭包与 Hausdorff 性：由有限空间的开集或闭集求 $\{b\}$ 的闭包，并用点的开邻域能否分离来判断 Hausdorff 条件。

Kai

(1)

$\varnothing,S\in\mathcal O$ である。集合族は有限なので、任意和については有限個の異なる元の和だけを調べればよい。

$\{a\},\{c\},\{a,c\}$ の間の和・共通部分は再びこの 3 集合または $\varnothing$ である。また $U=\{b,c,d\}$ とすると

$$U\cup\{a\}=U\cup\{a,c\}=S, \qquad U\cup\{c\}=U,$$

$$U\cap\{a\}=\varnothing, \qquad U\cap\{c\}=U\cap\{a,c\}=\{c\}.$$

したがって任意和と有限共通部分について閉じており、$\mathcal O$ は $S$ 上の位相である。

(2)

閉集合は開集合の補集合なので

$$S,\ \{b,c,d\},\ \{a,b,d\},\ \{b,d\},\ \{a\},\ \varnothing$$

である。このうち $\{b\}$ を含む最小の閉集合は $\{b,d\}$ だから

$$\boxed{\overline{\{b\}}=\{b,d\}}.$$

(3)

$b$ を含む開集合も $d$ を含む開集合も $\{b,c,d\}$ と $S$ の 2 個だけである。よって $b$ と $d$ のどの開近傍も共通部分を持ち、互いに素な開近傍で分離できない。したがって

$$\boxed{(S,\mathcal O)\text{ は Hausdorff 空間ではない}}.$$