東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問1

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GPT-5

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For the finite field $\mathbb F_2=\mathbb Z/2\mathbb Z=\{0,1\}$, consider

$$G=GL_2(\mathbb F_2) =\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\;\middle|\; \text{the matrix is nonsingular},\ a,b,c,d\in\mathbb F_2\right\}.$$

(1) Find the orders of

$$x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, \qquad y=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}.$$

(2) Find the order of $G$.

(3) Find all subgroups of $G$.

题目描述

在有限域 $\mathbb F_2=\mathbb Z/2\mathbb Z=\{0,1\}$ 上，考虑一般线性群

$$G=GL_2(\mathbb F_2) =\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\;\middle|\; \text{该矩阵非奇异},\ a,b,c,d\in\mathbb F_2\right\}.$$

回答下列问题：

1. 求元素

   $$x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, \qquad y=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$$

   在群 $G$ 中的阶。

2. 求群 $G$ 的阶。

3. 求出 $G$ 的全部子群。

考点

• 有限群中元素阶的计算：在 $\mathbb F_2$ 上逐次计算给定矩阵的幂，确定首次得到单位元的指数。
• 有限一般线性群的计数与子群判定：计算 $GL_2(\mathbb F_2)$ 的元素个数，并结合元素阶与 Lagrange 定理完整分类其子群。

Kai

(1)

$\mathbb F_2$ 上で計算すると

$$x^2=I, \qquad y^2=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad y^3=I.$$

$x\neq I$, $y\neq I$, $y^2\neq I$ なので

$$\boxed{\operatorname{ord}(x)=2, \qquad \operatorname{ord}(y)=3}.$$

(2)

可逆行列の第 1 列は $\mathbb F_2^2$ の非零ベクトル 3 個から選べる。第 2 列は第 1 列の張る 1 次元部分空間に含まれないベクトル 2 個から選べる。よって

$$\boxed{|G|=(2^2-1)(2^2-2)=3\cdot2=6}.$$

(3)

次の記号を用いる。

$$\begin{aligned} I&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},& p&=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},& q&=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\\ r&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},& s&=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix},& t&=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

$p,q,r$ は位数 2、$s,t=s^2$ は位数 3 である。したがって以下はすべて部分群である。

$$\begin{gathered} \{I\},\\ \{I,p\},\qquad\{I,q\},\qquad\{I,r\},\\ \{I,s,t\},\\ G=\{I,p,q,r,s,t\}. \end{gathered}$$

Lagrange の定理により部分群の位数は $1,2,3,6$ のいずれかである。位数 2 の部分群は位数 2 の元 1 個によって、位数 3 の部分群は位数 3 の元によって一意に定まるため、上のリストで全てである。