東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2019年8月実施 午前 1.

标签：

• TITech
• Limit
• Matrix-Determinant
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function
• Expectation-and-Variance
• Bayes-Theorem
• Exact-Binomial-Test

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 为空，本地 Git 历史中的该栏也始终为空。以下只重建 Kai 能唯一确认的公式、数据和问题类型；第 4、5 问的原始叙事情境与事件名称无法唯一恢复。

1. 求下列极限：

   1. $$\lim_{x\to\infty} \{\log_e(2x+3)-\log_e x\};$$
   2. $$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x};$$
   3. $$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-\cos x}{x}.$$

2. 计算矩阵乘积的行列式

   $$\det\left[ \begin{pmatrix} 1&0&0\\ x&2&1\\ x^2&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 31&23&17\\ 0&11&11\\ 0&4&5 \end{pmatrix} \right].$$

3. Kai 可确认随机变量 $X$ 的概率密度在 $0<x<1$ 上为

   $$f_X(x)=-4x\log_e x$$

   （支持集外的密度值未在 Kai 中明写，作为概率密度只能取 $0$）。求 $E(X)$、$V(X)$，并求 $0\leq x\leq1$ 时的累积分布函数 $F_X(x)$。原题是否还要求写出 $x<0$、$x>1$ 两段的 $F_X$，无法唯一确认。

4. Kai 中保留的 Bayes 数据可抽象为事件 $D$ 与观测 $T$：

   $$P(D)=\frac1{1000},\qquad P(T\mid D)=\frac{99}{100},\qquad P(T\mid D^c)=\frac15.$$

   求 $P(D\mid T)$。原题中 $D,T$ 分别代表什么事件没有留存。

5. 令一次试验中球进入口袋 A 的概率为 $p$。Kai 可确认需要检验

   $$H_0:p=\frac14,\qquad H_1:p>\frac14,$$

   并且观测为 $5$ 次独立试验中有 $4$ 次球进入 A。进行精确单侧二项检验，计算 $p$ 值，并在显著性水平 $5\%$ 下作出判断。球、口袋及试验装置的其余原始描述无法恢复。

考点

• 函数极限：通过对数运算化简，以及 $\sin x$、$\cos x$、$e^x$ 在零点附近的展开计算未定式。
• 行列式乘法性质：使用 $\det(AB)=\det A\det B$ 和三角/分块展开避免直接乘矩阵。
• 密度、分布函数与矩：对给定密度积分求一、二阶矩、方差及累积分布函数。
• Bayes 定理：由先验概率、真阳性率与假阳性率求观测后的后验概率。
• 精确二项检验：在单侧备择下累加“不小于观测成功次数”的二项概率，并与显著性水平比较。

Kai

1)

a)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left\{ \log_e (2x+3) - \log_e (x) \right\} &= \lim_{x \to \infty} \log_e \left( 2 + \frac{3}{x} \right) \\ &= \log_e 2 \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x \cdot ( x + \cdots )} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

c)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - \cos x}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{( 1 + 3x + \cdots ) - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x} \\ &= 3 \end{aligned}$$

2)

$$\begin{aligned} \det \left[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \right] &= \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot 31 \det \begin{pmatrix} 11 & 11 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= 1 \cdot 31 \cdot 11 \\ &= 341 \end{aligned}$$

3)

$$\begin{aligned} E(X) &= -4 \int_0^1 x^2 \log_e (x) dx \\ &= \frac{4}{9} \\ E(X^2) &= -4 \int_0^1 x^3 \log_e (x) dx \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} V(X) &= \frac{1}{4} - \left( \frac{4}{9} \right)^2 \\ &= \frac{17}{324} \end{aligned}$$

また、 $0 \leq x \leq 1$ について、

$$\begin{aligned} F_X(x) &= -4 \int_0^x y \log_e (y) dy \\ &= -2 x^2 \log_e(x) + x^2 \end{aligned}$$

4)

$$\begin{aligned} \frac{ \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100}} { \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100} + \frac{999}{1000} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{11}{2231} \end{aligned}$$

5)

ボールがポケットAに入る確率を $p$ とすると、

$$\begin{aligned} H_0 : p = \frac{1}{4} , \ \ \ \ H_1 : p \gt \frac{1}{4} \end{aligned}$$

と表せる。 $H_0$ の下で、5回試行中4回Aに入る確率は、

$$\begin{aligned} {}_5 C_4 \left( \frac{1}{4} \right)^4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4^5} \end{aligned}$$

であり、5回試行中5回Aに入る確率は、

$$\begin{aligned} {}_5 C_5 \left( \frac{1}{4} \right)^5 = \frac{1}{4^5} \end{aligned}$$

であるから、p値は

$$\begin{aligned} \frac{15}{4^5} + \frac{1}{4^5} = \frac{16}{4^5} = \frac{1}{64} \approx 0.0156 \end{aligned}$$

となり、有意水準5%で、 $H_0$ は棄却され、 $H_1$ が採択される。